เส้นทางเรขาคณิตและพุ่มไม้หนา

ขณะเขียนบทความนี้ ฉันจำเพลงเก่าของ Jan Pietrzak ซึ่งเขาร้องก่อนกิจกรรมเสียดสีในคาบาเร่ต์ Pod Egidą ซึ่งเป็นที่ยอมรับในสาธารณรัฐประชาชนโปแลนด์ว่าเป็นวาล์วนิรภัย เราสามารถหัวเราะเยาะความขัดแย้งของระบบได้ ในเพลงนี้ ผู้เขียนแนะนำให้มีส่วนร่วมทางการเมืองแบบสังคมนิยม เยาะเย้ยคนที่ต้องการไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใด และปิดวิทยุในหนังสือพิมพ์ “กลับไปอ่านหนังสือที่โรงเรียนดีกว่า” Petshak วัย XNUMX ปีในขณะนั้นร้องเพลงประชดประชัน

ฉันจะกลับไปอ่านหนังสือที่โรงเรียน ฉันกำลังอ่านหนังสือเรื่อง Lylavati ของ Shchepan Yelensky (1881-1949) ซ้ำ (ไม่ใช่ครั้งแรก) สำหรับผู้อ่านไม่กี่คำคำนั้นพูดอะไรบางอย่าง นี่คือชื่อของลูกสาวของนักคณิตศาสตร์ชาวฮินดูที่มีชื่อเสียงที่รู้จักกันในชื่อ Bhaskara (1114-1185) ชื่อ Akaria หรือนักปราชญ์ที่ตั้งชื่อหนังสือของเขาเกี่ยวกับพีชคณิตด้วยชื่อนั้น ต่อมา Lilavati กลายเป็นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาที่มีชื่อเสียง ตามแหล่งอื่นเธอเป็นคนเขียนหนังสือเอง

Szczepan Yelensky ตั้งชื่อหนังสือของเขาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ (พิมพ์ครั้งแรก, 1926) อาจเป็นการยากที่จะเรียกหนังสือเล่มนี้ว่าเป็นงานทางคณิตศาสตร์ - มันเป็นชุดของปริศนามากกว่า และส่วนใหญ่เขียนขึ้นใหม่จากแหล่งข้อมูลภาษาฝรั่งเศส (ไม่มีลิขสิทธิ์ในความหมายสมัยใหม่) ไม่ว่าในกรณีใด เป็นเวลาหลายปีที่หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือภาษาโปแลนด์ที่ได้รับความนิยมเพียงเล่มเดียวเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ - ต่อมาหนังสือเล่มที่สองของ Jelensky ชื่อ Pythagoras's Sweets ถูกเพิ่มเข้ามา คนหนุ่มสาวที่สนใจคณิตศาสตร์ (ซึ่งตรงกับที่ฉันเคยเป็น) ไม่มีอะไรให้เลือก ...

ในทางกลับกัน "ลิลาวาตี" ต้องรู้จักเกือบหมดหัวใจ... อา มีบางครั้ง... ข้อได้เปรียบที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขาคือว่าฉันเป็น... วัยรุ่น วันนี้จากมุมมองของนักคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษาดี ฉันมอง Lilavati ในวิธีที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - อาจเหมือนนักปีนเขาบนทางโค้งสู่ Shpiglasova Pshelench ไม่มีใครสูญเสียเสน่ห์ไป ... ในสไตล์ที่เป็นลักษณะเฉพาะของเขา Shchepan Yelensky ผู้ซึ่งยอมรับแนวคิดระดับชาติที่เรียกว่าในชีวิตส่วนตัวของเขาเขาเขียนไว้ในคำนำ:

ฉันจะบอกว่าแม้หลังจากเก้าสิบปีไปแล้ว คำพูดของ Yelensky เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ยังไม่สูญเสียความเกี่ยวข้องโดยไม่ต้องพูดถึงคำอธิบายลักษณะประจำชาติ คณิตศาสตร์สอนให้คุณคิด มันคือข้อเท็จจริง. เราสามารถสอนให้คุณคิดต่าง เรียบง่าย และสวยงามขึ้นได้ไหม? อาจจะ. แค่...เรายังทำไม่ได้ ฉันอธิบายให้นักเรียนที่ไม่ต้องการเรียนคณิตศาสตร์ฟังว่านี่เป็นการทดสอบความฉลาดของพวกเขาด้วย หากคุณไม่สามารถเรียนรู้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ จริงๆ ได้ งั้น... บางทีความสามารถทางจิตของคุณอาจแย่กว่าที่เราทั้งคู่ต้องการ...?

ป้ายทราย

และนี่คือเรื่องแรกใน "Lylavati" - เรื่องราวที่อธิบายโดยนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส Joseph de Maistre (1753-1821)

กะลาสีเรือจากเรืออับปางถูกคลื่นซัดเข้าหาฝั่งที่ว่างเปล่า ซึ่งเขาถือว่าไม่มีใครอาศัยอยู่ ทันใดนั้น บนหาดทราย เขาเห็นร่องรอยของรูปทรงเรขาคณิตที่วาดต่อหน้าใครบางคน ตอนนั้นเองที่เขาตระหนักว่าเกาะแห่งนี้ไม่ได้ร้างเปล่า!

การอ้างอิง de Mestri, Yelensky เขียนว่า: รูปทรงเรขาคณิตมันจะเป็นการแสดงออกถึงความเป็นใบ้สำหรับคนที่โชคร้าย เรืออับปาง เรื่องบังเอิญ แต่เขาแสดงให้เขาเห็นโดยคร่าว ๆ ถึงสัดส่วนและจำนวน และชายผู้นี้ก็ได้ประกาศชายผู้รู้แจ้ง มากสำหรับประวัติศาสตร์

โปรดทราบว่ากะลาสีเรือจะทำให้เกิดปฏิกิริยาเช่นเดียวกัน เช่น โดยการวาดตัวอักษร K, ... และร่องรอยการปรากฏตัวของบุคคลอื่นๆ เรขาคณิตนี้เป็นอุดมคติ

อย่างไรก็ตาม นักดาราศาสตร์ Camille Flammarion (1847-1925) เสนอว่าอารยธรรมทักทายกันจากระยะไกลโดยใช้เรขาคณิต เขาเห็นว่านี่เป็นความพยายามในการสื่อสารที่ถูกต้องและเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวเท่านั้น ให้ชาวดาวอังคารเห็นสามเหลี่ยมพีทาโกรัส... พวกเขาจะตอบเราด้วย Thales เราจะตอบพวกเขาด้วยรูปแบบ Vieta วงกลมของพวกเขาจะพอดีกับสามเหลี่ยม ดังนั้นมิตรภาพจึงเริ่มต้นขึ้น...

นักเขียนเช่น Jules Verne และ Stanislav Lem กลับมาที่แนวคิดนี้ และในปี 1972 กระเบื้องที่มีลวดลายเรขาคณิต (และไม่เพียงเท่านั้น) ถูกวางบนยานสำรวจของไพโอเนียร์ ซึ่งยังคงข้ามพื้นที่อันกว้างใหญ่ ตอนนี้เกือบ 140 หน่วยดาราศาสตร์จากเรา (1 I คือระยะทางเฉลี่ยของโลกจากโลก) . อา เช่น ประมาณ 149 ล้านกม.) ชิ้นส่วนนี้ได้รับการออกแบบโดยนักดาราศาสตร์ Frank Drake ผู้สร้างกฎข้อขัดแย้งเกี่ยวกับจำนวนอารยธรรมนอกโลก

เรขาคณิตเป็นที่น่าอัศจรรย์ เราทุกคนรู้มุมมองทั่วไปเกี่ยวกับที่มาของวิทยาศาสตร์นี้ เรา (มนุษย์) เพิ่งเริ่มวัดที่ดิน (และต่อมาคือที่ดิน) เพื่อวัตถุประสงค์ที่เป็นประโยชน์มากที่สุด การกำหนดระยะทาง การวาดเส้นตรง การทำเครื่องหมายมุมฉาก และการคำนวณปริมาตรค่อยๆ กลายเป็นสิ่งจำเป็น ดังนั้นสิ่งทั้งปวง เรขาคณิต (“การวัดของโลก”) ดังนั้นคณิตศาสตร์ทั้งหมด ...

อย่างไรก็ตาม ในบางครั้ง ภาพที่ชัดเจนของประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ก็ทำให้เราขุ่นมัว เพราะถ้าคณิตศาสตร์มีความจำเป็นเพียงเพื่อวัตถุประสงค์ในการปฏิบัติงาน เราจะไม่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทง่ายๆ “คุณเห็นว่านี่ควรเป็นจริงเลย” ใครจะพูดว่าหลังจากตรวจสอบว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากหลายๆ รูป ผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก ทำไมต้องเป็นพิธีการเช่นนี้?

บ๊วยต้องอร่อย โปรแกรมคอมพิวเตอร์ต้องทำงาน เครื่องต้องทำงาน ถ้าฉันนับความจุของลำกล้องปืนสามสิบครั้งและทุกอย่างเรียบร้อยดีแล้วทำไมอีก?

ในระหว่างนี้ ชาวกรีกโบราณจำเป็นต้องหาหลักฐานที่เป็นทางการบางอย่าง

ดังนั้น คณิตศาสตร์จึงเริ่มต้นด้วย Thales (625-547 BC) สันนิษฐานว่าเป็นมิเลทัสที่เริ่มสงสัยว่าทำไม ไม่เพียงพอสำหรับคนฉลาดที่พวกเขาได้เห็นบางสิ่งบางอย่างที่พวกเขาเชื่อมั่นในบางสิ่งบางอย่าง พวกเขาเห็นความจำเป็นในการพิสูจน์ ลำดับตรรกะของการโต้แย้งตั้งแต่สมมติฐานจนถึงวิทยานิพนธ์

พวกเขายังต้องการมากขึ้น อาจเป็น Thales ที่พยายามอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพในลักษณะที่เป็นธรรมชาติเป็นครั้งแรกโดยปราศจากการแทรกแซงจากพระเจ้า ปรัชญายุโรปเริ่มต้นด้วยปรัชญาของธรรมชาติ - ด้วยสิ่งที่อยู่เบื้องหลังฟิสิกส์อยู่แล้ว (ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่า: อภิปรัชญา) แต่รากฐานของภววิทยายุโรปและปรัชญาธรรมชาติถูกวางโดยพีทาโกรัส (พีทาโกรัส ค. 580-ค. 500 ปีก่อนคริสตกาล)

เขาก่อตั้งโรงเรียนของตัวเองใน Crotone ทางตอนใต้ของคาบสมุทร Apennine - วันนี้เราจะเรียกมันว่านิกาย วิทยาศาสตร์ (ในความหมายปัจจุบันของคำ) เวทย์มนต์ ศาสนา และจินตนาการล้วนเกี่ยวพันกันอย่างใกล้ชิด Thomas Mann นำเสนอบทเรียนคณิตศาสตร์ในโรงยิมเยอรมันอย่างสวยงามในนวนิยาย Doctor Faustus แปลโดย Maria Kuretskaya และ Witold Virpsha ส่วนนี้อ่านว่า:

ในหนังสือที่น่าสนใจของ Charles van Doren เรื่อง The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day ฉันพบมุมมองที่น่าสนใจมาก ในบทหนึ่ง ผู้เขียนอธิบายถึงความสำคัญของโรงเรียนพีทาโกรัส ชื่อเรื่องของบททำให้ฉันประทับใจ อ่านว่า: "การประดิษฐ์คณิตศาสตร์: ชาวพีทาโกรัส"

เรามักจะพูดคุยกันว่ามีการค้นพบทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือไม่ (เช่น ดินแดนที่ไม่รู้จัก) หรือมีการประดิษฐ์ขึ้น (เช่น เครื่องจักรที่ไม่เคยมีมาก่อน) นักคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์บางคนมองว่าตนเองเป็นนักวิจัย บางคนมองว่าตนเองเป็นนักประดิษฐ์หรือนักออกแบบ ซึ่งมักไม่ค่อยตอบโต้

แต่ผู้เขียนหนังสือเล่มนี้เขียนเกี่ยวกับการประดิษฐ์ของคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

จากการพูดเกินจริงไปสู่ความลวง

หลังจากส่วนเกริ่นนำอันยาวเหยียดนี้ ฉันจะไปยังจุดเริ่มต้น เรขาคณิตเพื่ออธิบายว่าการพึ่งพารูปทรงเรขาคณิตมากเกินไปอาจทำให้นักวิทยาศาสตร์เข้าใจผิดได้อย่างไร Johannes Kepler เป็นที่รู้จักในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ในฐานะผู้ค้นพบกฎสามข้อของการเคลื่อนที่ของเทห์ฟากฟ้า ประการแรก ดาวเคราะห์แต่ละดวงในระบบสุริยะโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง ประการที่สอง ในช่วงเวลาปกติ รังสีนำของดาวเคราะห์ที่ดึงมาจากดวงอาทิตย์จะดึงสนามที่เท่ากัน ประการที่สาม อัตราส่วนของกำลังสองของคาบการปฏิวัติของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ต่อลูกบาศก์ของกึ่งแกนเอกของวงโคจรของมัน (กล่าวคือ ระยะทางเฉลี่ยจากดวงอาทิตย์) เป็นค่าคงที่สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ

บางทีนี่อาจเป็นกฎข้อที่สาม - ต้องใช้ข้อมูลและการคำนวณจำนวนมากเพื่อสร้างมัน ซึ่งทำให้เคปเลอร์ดำเนินการค้นหารูปแบบในการเคลื่อนที่และตำแหน่งของดาวเคราะห์ต่อไป ประวัติของ "การค้นพบ" ใหม่ของเขามีประโยชน์อย่างมาก ตั้งแต่สมัยโบราณ เราไม่เพียงชื่นชมรูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาเท่านั้น แต่ยังมีการโต้แย้งที่แสดงให้เห็นว่าในอวกาศมีเพียงห้าชิ้นเท่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติจะเรียกว่าปกติ ถ้าใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเหมือนกัน และแต่ละจุดยอดมีจำนวนขอบเท่ากัน ตามตัวอย่างแล้ว แต่ละมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติควร "เหมือนกัน" รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดคือลูกบาศก์ ทุกคนได้เห็นข้อเท้าธรรมดา

จัตุรมุขปกติไม่ค่อยเป็นที่รู้จัก และในโรงเรียนเรียกว่าพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ ดูเหมือนปิรามิด รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เหลืออีกสามรูปนั้นไม่ค่อยมีใครรู้จัก รูปแปดด้านถูกสร้างขึ้นเมื่อเราเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของขอบของลูกบาศก์ dodecahedron และ icosahedron ดูเหมือนลูกบอลแล้ว ทำจากหนังนิ่ม ขุดได้สบาย เหตุผลที่ว่าไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นใดนอกจากของแข็ง Platonic ทั้งห้านั้นเป็นสิ่งที่ดีมาก อันดับแรก เราตระหนักดีว่าถ้าเนื้อความสม่ำเสมอ จำนวนเดียวกัน (ให้ q) ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เหมือนกันจะต้องมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นมุม p ตอนนี้เราต้องจำว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร หากมีใครจำไม่ได้ว่ามาจากโรงเรียน เราจะเตือนคุณถึงวิธีค้นหารูปแบบที่ถูกต้อง เราไปเที่ยวรอบมุม ที่จุดยอดแต่ละจุดเราหมุนผ่านมุมเดียวกัน a เมื่อเราหมุนรอบรูปหลายเหลี่ยมและกลับไปที่จุดเริ่มต้น เราได้เลี้ยวดังกล่าวแล้ว และโดยรวมแล้วเราหมุน 360 องศา

แต่ α เป็นส่วนประกอบ 180 องศาของมุมที่เราต้องการคำนวณ ดังนั้น

เราพบสูตรสำหรับมุมแล้ว (นักคณิตศาสตร์จะพูดว่า: การวัดมุม) ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ลองดู: ในรูปสามเหลี่ยม p = 3 ไม่มี a

แบบนี้. เมื่อ p = 4 (สี่เหลี่ยม) แล้ว

องศาก็ดีเหมือนกัน

เราได้อะไรจากเพนตากอน? จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อมีรูปหลายเหลี่ยม q แต่ละ p มีมุมเท่ากัน

 องศาจากมากไปน้อยที่จุดยอดหนึ่ง? ถ้ามันอยู่บนระนาบ มุมก็จะก่อตัวขึ้น

องศาและต้องไม่เกิน 360 องศา - เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมจะทับซ้อนกัน

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มาบรรจบกันในอวกาศ มุมจึงต้องน้อยกว่ามุมเต็ม

และนี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นทั้งหมดดังต่อไปนี้:

หารด้วย 180, คูณทั้งสองส่วนด้วย p, ลำดับ (p-2) (q-2) < 4. จะเกิดอะไรขึ้น? โปรดทราบว่า p และ q ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติ และ p > 2 (ทำไม? และ p คืออะไร) และ q > 2 ด้วย มีหลายวิธีที่จะทำให้ผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวน้อยกว่า 4 เรา จะแสดงรายการทั้งหมด ในตารางที่ 1

ฉันไม่โพสต์ภาพวาด ทุกคนสามารถเห็นตัวเลขเหล่านี้บนอินเทอร์เน็ต… บนอินเทอร์เน็ต… ฉันจะไม่ปฏิเสธการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ – บางทีมันอาจจะน่าสนใจสำหรับผู้อ่านอายุน้อย ในปี 1970 ฉันพูดในงานสัมมนา หัวข้อเป็นเรื่องยาก ฉันมีเวลาเตรียมตัวน้อยฉันนั่งในตอนเย็น บทความหลักเป็นแบบอ่านอย่างเดียว สถานที่น่านั่ง บรรยากาศน่าทำงาน ปิดเจ็ดโมง จากนั้นเจ้าสาว (ตอนนี้เป็นภรรยาของฉัน) เองก็เสนอที่จะเขียนบทความทั้งหมดให้ฉันใหม่: หน้าที่พิมพ์ประมาณหนึ่งโหล ฉันคัดลอกมัน (ไม่ ไม่ใช้ปากกาขนนก เรามีปากกาด้วยซ้ำ) การบรรยายประสบความสำเร็จ วันนี้ฉันพยายามค้นหาสิ่งพิมพ์นี้ซึ่งเก่าแล้ว จำได้แต่ชื่อผู้แต่ง...ค้นหาทางเน็ตนานมาก...สิบห้านาทีเต็ม ฉันคิดเกี่ยวกับมันด้วยรอยยิ้มและความเสียใจที่ไม่สมเหตุสมผลเล็กน้อย

เรากลับไปที่ Keplera และเรขาคณิต. เห็นได้ชัดว่าเพลโตทำนายการมีอยู่ของร่างปกติที่ห้าเพราะเขาขาดสิ่งที่เป็นเอกภาพซึ่งครอบคลุมทั้งโลก อาจเป็นเพราะเหตุนี้เองที่เขาสั่งลูกศิษย์คนหนึ่ง (เธจเตต) ให้ตามหาเธอ ตามที่เป็นอยู่บนพื้นฐานของการค้นพบสิบสองหน้า เราเรียกทัศนคตินี้ว่าลัทธิเทวนิยมของเพลโต นักวิทยาศาสตร์ทุกคน จนถึงนิวตัน ยอมจำนนต่อมันในระดับมากหรือน้อย ตั้งแต่ศตวรรษที่สิบแปดที่มีเหตุผลสูง อิทธิพลของมันลดลงอย่างมาก แม้ว่าเราไม่ควรละอายกับความจริงที่ว่าเราทุกคนยอมจำนนต่อมันไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

ในแนวคิดของเคปเลอร์ในการสร้างระบบสุริยะ ทุกอย่างถูกต้อง ข้อมูลการทดลองใกล้เคียงกับทฤษฎี ทฤษฎีมีความสอดคล้องกันอย่างมีตรรกะ สวยงามมาก ... แต่เป็นเท็จโดยสิ้นเชิง ในช่วงเวลาของเขา รู้จักดาวเคราะห์เพียงหกดวง: ดาวพุธ ดาวศุกร์ โลก ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ ทำไมจึงมีดาวเคราะห์เพียงหกดวง? เคปเลอร์ถาม และความสม่ำเสมอใดที่กำหนดระยะห่างจากดวงอาทิตย์ เขาสันนิษฐานว่าทุกอย่างเชื่อมโยงกัน, ว่า เรขาคณิตและจักรวาลวิทยา มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด จากงานเขียนของชาวกรีกโบราณ เขารู้ว่ามีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดา เขาเห็นว่ามีช่องว่างห้าช่องระหว่างวงโคจรทั้งหก ดังนั้นพื้นที่ว่างแต่ละอันเหล่านี้อาจสอดคล้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติบางอัน?

หลังจากการสังเกตและทำงานตามทฤษฎีมาหลายปี เขาได้สร้างทฤษฎีต่อไปนี้ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเขาคำนวณขนาดของวงโคจรได้ค่อนข้างแม่นยำ ซึ่งเขานำเสนอในหนังสือ "Mysterium Cosmographicum" ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1596: ลองนึกภาพทรงกลมขนาดยักษ์ เส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของดาวพุธในการเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ประจำปี จากนั้นลองนึกภาพว่าในทรงกลมนี้มีรูปแปดด้านปกติบนนั้นทรงกลมบนนั้นมี icosahedron บนนั้นทรงกลมอีกครั้งบนนั้นสิบสองหน้าบนนั้นอีกทรงกลมหนึ่งบนนั้นจัตุรมุขแล้วก็ทรงกลมอีกครั้งลูกบาศก์ และสุดท้าย ลูกบอลถูกอธิบายบนลูกบาศก์นี้

เคปเลอร์สรุปว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่ต่อเนื่องกันเหล่านี้คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงโคจรของดาวเคราะห์ดวงอื่น: ดาวพุธ ดาวศุกร์ โลก ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ ทฤษฎีดูเหมือนจะแม่นยำมาก น่าเสียดายที่สิ่งนี้ใกล้เคียงกับข้อมูลการทดลอง และอะไรจะเป็นหลักฐานยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ได้ดีไปกว่าการโต้ตอบกับข้อมูลการทดลองหรือข้อมูลเชิงสังเกต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "นำมาจากสวรรค์" ฉันสรุปการคำนวณเหล่านี้ในตารางที่ 2 แล้วเคปเลอร์ทำอะไร ฉันลองแล้วลองอีกจนกว่าจะได้ผล นั่นคือเมื่อการกำหนดค่า (ลำดับของทรงกลม) และการคำนวณผลลัพธ์ใกล้เคียงกับข้อมูลเชิงสังเกต นี่คือตัวเลขและการคำนวณของเคปเลอร์สมัยใหม่:

เราสามารถยอมจำนนต่อเสน่ห์ของทฤษฎีและเชื่อว่าการวัดในท้องฟ้านั้นไม่ถูกต้อง และไม่ใช่การคำนวณที่เกิดขึ้นในความเงียบของการประชุมเชิงปฏิบัติการ น่าเสียดายที่วันนี้เรารู้ว่ามีดาวเคราะห์อย่างน้อยเก้าดวงและความบังเอิญของผลลัพธ์เป็นเพียงเรื่องบังเอิญ สงสาร. มันสวยมาก...