สำหรับปีการศึกษาใหม่
ผู้อ่านส่วนใหญ่ไปพักผ่อนที่ไหนสักแห่ง ไม่ว่าในประเทศที่สวยงามของเรา ในประเทศเพื่อนบ้าน หรือแม้แต่ในต่างประเทศ มาใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ในขณะที่พรมแดนเปิดสำหรับเรา ... อะไรคือสัญญาณที่พบบ่อยที่สุดในการเดินทางระยะสั้นและระยะยาวของเรา? เป็นลูกศรที่ชี้ไปยังทางออกมอเตอร์เวย์ ทางขึ้นเขา ทางเข้าพิพิธภัณฑ์ ทางเข้าชายหาด เป็นต้น สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับทั้งหมดนี้คืออะไร? ในทางคณิตศาสตร์ไม่มาก แต่ลองคิดดู: สัญลักษณ์นี้ชัดเจนสำหรับทุกคน ... ตัวแทนของอารยธรรมที่การยิงธนูครั้งหนึ่ง จริงอยู่ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ เราไม่รู้จักอารยธรรมอื่นใด อย่างไรก็ตาม รูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉกรูปดาวห้าแฉก มีความน่าสนใจทางคณิตศาสตร์มากกว่า
เราไม่ต้องการการศึกษาใดๆ เพื่อค้นหาตัวเลขเหล่านี้ที่น่าสนใจและน่าสนใจ ถ้ารีดเดอร์ คุณเคยดื่มคอนญักระดับห้าดาวในโรงแรมห้าดาวที่ Place des Stars ในปารีส บางที... คุณเกิดมาภายใต้ดวงดาวที่โชคดี เมื่อมีคนขอให้เราวาดดาว เราจะวาดรูปห้าแฉกโดยไม่ลังเล และเมื่อคู่สนทนาประหลาดใจ: “นี่เป็นสัญลักษณ์ของอดีตสหภาพโซเวียต!” เราสามารถตอบได้ว่า: คอกม้า!”
รูปดาวห้าแฉกหรือดาวห้าแฉกซึ่งเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติได้รับการควบคุมโดยมนุษย์ทุกคน อย่างน้อยหนึ่งในสี่ของประเทศ รวมทั้งสหรัฐอเมริกาและอดีตสหภาพโซเวียต ได้รวมไว้ในสัญลักษณ์ของพวกเขา ตอนเด็กๆ เราเรียนรู้การวาดดาวห้าแฉกโดยไม่ต้องยกดินสอออกจากหน้ากระดาษ ในวัยผู้ใหญ่ เธอกลายเป็นดาวนำทางของเรา ไม่เปลี่ยนแปลง ห่างไกล สัญลักษณ์แห่งความหวังและโชคชะตา เป็นคำพยากรณ์ ลองดูจากด้านข้าง
ดวงดาวบอกอะไรเราบ้าง?
นักประวัติศาสตร์ยอมรับว่าจนถึงศตวรรษที่ XNUMX ก่อนคริสต์ศักราช มรดกทางปัญญาของชาวยุโรปยังคงอยู่ในเงามืดของวัฒนธรรมของบาบิโลน อียิปต์ และฟีนิเซีย และจู่ ๆ ศตวรรษที่หกก็นำยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาและการพัฒนาอย่างรวดเร็วของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ที่นักข่าวบางคน (เช่น Daniken) อ้างว่า - เป็นการยากที่จะบอกว่าพวกเขาเองเชื่อในสิ่งนี้หรือไม่ - สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการแทรกแซง ของผู้ต้องขัง จากอวกาศ
เมื่อพูดถึงกรีซกรณีนี้มีคำอธิบายที่มีเหตุผล: อันเป็นผลมาจากการอพยพของผู้คนชาวคาบสมุทร Peloponnesian เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวัฒนธรรมของประเทศเพื่อนบ้าน (ตัวอย่างเช่นตัวอักษรฟินีเซียนแทรกซึมเข้าไปในกรีซและปรับปรุงตัวอักษร ) และพวกเขาเองก็เริ่มตั้งรกรากในแอ่งทะเลเมดิเตอร์เรเนียน สิ่งเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่เอื้ออำนวยต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์เสมอ: ความเป็นอิสระรวมกับการติดต่อกับโลก หากปราศจากเอกราช เราต้องเผชิญกับชะตากรรมของสาธารณรัฐกล้วยแห่งอเมริกากลาง ไร้ซึ่งการติดต่อไปยังเกาหลีเหนือ
ตัวเลขสำคัญ
ศตวรรษที่ XNUMX ก่อนคริสตกาลเป็นศตวรรษพิเศษในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ นักคิดผู้ยิ่งใหญ่สามคนสอนโดยไม่รู้หรืออาจไม่ได้ยินซึ่งกันและกัน: พระพุทธเจ้าขงจื๊อ i พีทาโกรัส. สองคนแรกสร้างศาสนาและปรัชญาที่ยังมีชีวิตอยู่ในปัจจุบัน บทบาทของส่วนที่สามจำกัดเฉพาะการค้นพบคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมบางรูปหรือไม่?
ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 624 และ 546 (ประมาณ XNUMX - ประมาณ XNUMX ปีก่อนคริสตกาล) ในเมือง Miletus ในเอเชียไมเนอร์สมัยใหม่อาศัยอยู่ เช่นนี้. บางแหล่งบอกว่าเขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ บ้างก็ว่าเขาเป็นพ่อค้าผู้มั่งคั่ง และคนอื่น ๆ ก็เรียกเขาว่าผู้ประกอบการ (เห็นได้ชัดว่าในหนึ่งปี เขาซื้อแท่นกดน้ำมันทั้งหมด แล้วยืมเงินมาจ่ายแพง) บางคนตามสมัยนิยมและแบบอย่างของการทำวิทยาศาสตร์กลับมองว่าเขาเป็นผู้อุปถัมภ์ เห็นได้ชัดว่าเขาเชิญนักปราชญ์มาเลี้ยงพวกเขาและปฏิบัติต่อพวกเขาแล้วกล่าวว่า: "จงทำงานเพื่อศักดิ์ศรีของ ฉันและวิทยาศาสตร์ทั้งหมด” อย่างไรก็ตาม แหล่งข่าวที่จริงจังจำนวนมากมีแนวโน้มที่จะยืนยันว่าธาเลสไม่มีตัวตนและเลือดเนื้ออยู่เลย และชื่อของเขาทำหน้าที่เป็นเพียงตัวตนของความคิดเฉพาะเท่านั้น อย่างที่เคยเป็นมาและเราอาจจะไม่มีวันรู้ นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ E. D. Smith เขียนว่าหากไม่มีทาเลส ก็จะไม่มีพีทาโกรัส และไม่มีใครเหมือนพีทาโกรัส และหากไม่มีพีทาโกรัส ก็จะไม่มีทั้งเพลโตและใครก็ตามที่เหมือนเพลโต มีโอกาสมากขึ้น. ให้เราออกจากกันอย่างไรก็ตามจะเกิดอะไรขึ้นถ้า
พีทาโกรัส (ค. 572 - 497 ปีก่อนคริสตกาล) สอนที่โครโตเนทางตอนใต้ของอิตาลีและที่นั่นมีการเคลื่อนไหวทางปัญญาที่ได้รับการตั้งชื่อตามอาจารย์เกิด: พีทาโกรัส. เป็นการเคลื่อนไหวและการสมาคมที่มีจริยธรรมและทางศาสนาซึ่งเราจะเรียกมันว่าวันนี้ในเรื่องความลับและคำสอนที่เป็นความลับ โดยพิจารณาว่าการศึกษาวิทยาศาสตร์เป็นหนึ่งในวิธีการชำระจิตวิญญาณให้บริสุทธิ์ ในช่วงชีวิตของหนึ่งหรือสองชั่วอายุคน พีทาโกรัสได้ผ่านขั้นตอนปกติของการพัฒนาความคิด นั่นคือ การเติบโตและการขยายตัวในขั้นต้น วิกฤตและการเสื่อมถอย ความคิดที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงไม่ได้จบชีวิตลงที่นั่นและไม่มีวันตายไปตลอดกาล คำสอนทางปัญญาของพีทาโกรัส (ตัวเขาเองได้บัญญัติศัพท์ที่เขาเรียกตัวเองว่า: นักปรัชญาหรือเพื่อนแห่งปัญญา) และสาวกของเขาครอบงำสมัยโบราณทั้งหมด จากนั้นกลับสู่ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (ภายใต้ชื่อลัทธิเทววิทยา) และแท้จริงแล้วเราอยู่ภายใต้อิทธิพลของเขา วันนี้. หลักการของพีทาโกรัสนั้นฝังแน่นในวัฒนธรรม (อย่างน้อยก็ในยุโรป) จนเราแทบไม่รู้ว่าเราสามารถคิดอย่างอื่นได้ เราแปลกใจไม่น้อยไปกว่า Monsieur Jourdain ของ Molière ที่ประหลาดใจที่รู้ว่าเขาพูดร้อยแก้วมาตลอดชีวิต
แนวคิดหลักของพีทาโกรัสคือความเชื่อที่ว่าโลกถูกจัดระเบียบตามแผนและความสามัคคีที่เข้มงวด และกระแสเรียกของมนุษย์คือการรู้จักความสามัคคีนี้ และเป็นการสะท้อนถึงความกลมกลืนของโลกที่ประกอบเป็นคำสอนของลัทธิพีทาโกรัส ชาวพีทาโกรัสเป็นทั้งนักเวทย์มนตร์และนักคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน ถึงแม้ว่าวันนี้จะเป็นเพียงวันนี้เท่านั้นที่จำแนกพวกเขาได้ง่ายๆ พวกเขาปูทาง พวกเขาเริ่มศึกษาเรื่องความกลมกลืนของโลก เริ่มจากเรียนดนตรี ดาราศาสตร์ เลขคณิต ฯลฯ
แม้ว่ามนุษยชาติจะยอมจำนนต่อเวทมนตร์ "ตลอดไป" มีเพียงโรงเรียนพีทาโกรัสเท่านั้นที่ยกให้เป็นกฎหมายที่บังคับใช้โดยทั่วไป "ตัวเลขครองโลก" – สโลแกนนี้เป็นลักษณะที่ดีที่สุดของโรงเรียน ตัวเลขมีจิตวิญญาณ แต่ละคนมีความหมายบางอย่าง แต่ละคนเป็นสัญลักษณ์ของบางสิ่งบางอย่าง แต่ละคนสะท้อนถึงอนุภาคของความกลมกลืนของจักรวาลนี้ เช่น ช่องว่าง. คำว่าตัวเองหมายถึง "ระเบียบ, ระเบียบ" (ผู้อ่านรู้ว่าเครื่องสำอางทำให้ใบหน้าเรียบเนียนและเสริมความงาม)
แหล่งต่าง ๆ ให้ความหมายที่แตกต่างกันซึ่งชาวพีทาโกรัสมอบให้กับแต่ละหมายเลข ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวเลขเดียวกันอาจเป็นสัญลักษณ์ของแนวคิดหลายอย่าง ที่สำคัญที่สุดคือ หก (เลขสมบูรณ์) i สิบ - ผลรวมของตัวเลขติดต่อกัน 1 + 2 + 3 + 4 ประกอบด้วยตัวเลขอื่น ๆ ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่รอดชีวิตมาได้จนถึงทุกวันนี้
ดังนั้น พีทาโกรัสจึงสอนว่าตัวเลขเป็นจุดเริ่มต้นและแหล่งที่มาของทุกสิ่ง ซึ่งถ้าคุณนึกภาพออก ตัวเลขเหล่านี้ "ผสม" กัน และเราจะเห็นเพียงผลลัพธ์ของสิ่งที่พวกเขาทำเท่านั้น พีทาโกรัสสร้างหรือพัฒนามากกว่า เวทย์มนต์ของตัวเลขยังไม่มี "การพิมพ์ที่ดี" ในปัจจุบัน และแม้แต่ผู้เขียนที่จริงจังก็ยังเห็นส่วนผสมของ "สิ่งที่น่าสมเพชและความไร้สาระ" หรือ "วิทยาศาสตร์ เวทย์มนต์ และการพูดเกินจริง" เป็นการยากที่จะเข้าใจว่า Alexander Kravchuk นักประวัติศาสตร์ชื่อดังสามารถเขียนได้อย่างไรว่า Pythagoras และนักเรียนของเขาเติมปรัชญาด้วยวิสัยทัศน์ตำนานความเชื่อโชคลาง - ราวกับว่าเขาไม่เข้าใจอะไรเลย เพราะมันดูเหมือนสิ่งนี้จากมุมมองของศตวรรษที่ XNUMX ของเราเท่านั้น ชาวปีทาโกรัสไม่ได้กดดันอะไร พวกเขาสร้างทฤษฎีของตนด้วยความรู้สึกผิดชอบชั่วดี ในอีกไม่กี่ศตวรรษอาจมีคนเขียนว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั้งหมดนั้นไร้สาระ เสแสร้ง และถูกบังคับ และสัญลักษณ์ตัวเลขซึ่งแยกเราออกจากพีทาโกรัสถึงหนึ่งในสี่ของล้านปี ซึมลึกเข้าไปในวัฒนธรรมและกลายเป็นส่วนหนึ่งของมัน เช่น ตำนานกรีกและเยอรมัน มหากาพย์อัศวินยุคกลาง นิทานพื้นบ้านรัสเซียเกี่ยวกับ Kost หรือวิสัยทัศน์ของ Juliusz Slovak the สมเด็จพระสันตะปาปาสลาฟ
ความไร้เหตุผลลึกลับ
ในทางเรขาคณิต ชาวพีทาโกรัสรู้สึกทึ่ง figurami-podobnymi. และในการวิเคราะห์ทฤษฎีบททาเลส กฎพื้นฐานของกฎความคล้ายคลึงกัน ที่เกิดภัยพิบัติขึ้น มีการค้นพบส่วนที่เปรียบเทียบไม่ได้และด้วยเหตุนี้จำนวนอตรรกยะ ตอนที่ไม่สามารถวัดได้ด้วยมาตรการทั่วไปใดๆ ตัวเลขที่ไม่เป็นสัดส่วน และพบในรูปแบบที่ง่ายที่สุดอย่างใดอย่างหนึ่ง: สี่เหลี่ยมจัตุรัส
ทุกวันนี้ ในวิทยาศาสตร์ของโรงเรียน เราข้ามความจริงนี้ไป โดยแทบไม่สังเกตเห็นเลย เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ √2? เยี่ยมมากที่สามารถ? เรากดสองปุ่มบนเครื่องคิดเลข: 1,4142 ... เรารู้แล้วว่าสแควร์รูทของสองคืออะไร อย่างไหน? มันไม่มีเหตุผล? อาจเป็นเพราะเราใช้เครื่องหมายแปลก ๆ เช่นนี้ แต่ท้ายที่สุด ในความเป็นจริง มันคือ 1,4142 ท้ายที่สุดเครื่องคิดเลขก็ไม่โกหก
หากผู้อ่านคิดว่าฉันพูดเกินจริงแล้วล่ะก็ ... ดีมาก เห็นได้ชัดว่าโรงเรียนในโปแลนด์ไม่ได้เลวร้ายเช่นในอังกฤษที่ทุกอย่าง ความไม่สามารถวัดได้ ที่ไหนสักแห่งระหว่างเทพนิยาย
ในภาษาโปแลนด์ คำว่า "ไม่ลงตัว" ไม่ได้น่ากลัวเท่ากับคำในภาษายุโรปอื่นๆ จำนวนตรรกยะ มีเหตุผล, ตรรกยะ, ตรรกยะเช่น
พิจารณาเหตุผลที่ √2 มันเป็นจำนวนอตรรกยะนั่นคือ ไม่ใช่เศษส่วนของ p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็ม ในแง่สมัยใหม่ดูเหมือนว่านี้ ... สมมติว่า √2 = p / q และเศษส่วนนี้ไม่สามารถย่อให้สั้นลงได้อีกต่อไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทั้ง p และ q เป็นเลขคี่ ลองยกกำลังสอง: 2q2=p2. ตัวเลข p เป็นเลขคี่ไม่ได้ตั้งแต่นั้นมา p2 ก็จะเป็นเช่นกัน และด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือผลคูณของ 2 ดังนั้น p จึงเป็นคู่ นั่นคือ p = 2r ดังนั้น p2= 4r2. เราลดสมการ 2q2= 4r2. เราได้รับ d2= 2r2 และเราเห็นว่า q ต้องเป็นคู่ด้วย ซึ่งเราถือว่าไม่เป็นเช่นนั้น ได้รับ ความขัดแย้ง การพิสูจน์จบลง - คุณสามารถพบสูตรนี้เป็นครั้งคราวในหนังสือคณิตศาสตร์ทุกเล่ม หลักฐานแวดล้อมนี้เป็นกลอุบายที่นักปราชญ์นิยม
อย่างไรก็ตาม ฉันขอเน้นว่านี่คือการให้เหตุผลสมัยใหม่ ชาวพีทาโกรัสไม่มีเครื่องมือเกี่ยวกับพีชคณิตที่พัฒนาแล้ว พวกเขากำลังมองหาการวัดทั่วไปของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเส้นทแยงมุม ซึ่งทำให้พวกเขาคิดว่าจะไม่มีการวัดทั่วไปเช่นนั้น สมมติฐานของการมีอยู่ของมันนำไปสู่ความขัดแย้ง พื้นแข็งหลุดจากใต้เท้าของฉัน ทุกอย่างควรจะอธิบายได้ด้วยตัวเลข และเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใครๆ ก็วาดด้วยไม้เท้าบนทรายนั้นไม่มีความยาว (นั่นคือวัดได้เพราะไม่มีตัวเลขอื่น) “ศรัทธาของเราไร้ประโยชน์” ชาวพีทาโกรัสกล่าว จะทำอย่างไร?
มีความพยายามในการช่วยตัวเองด้วยวิธีนิกาย ใครก็ตามที่กล้าที่จะค้นพบการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะจะถูกประหารชีวิต และเห็นได้ชัดว่าเจ้านายตัวเองซึ่งตรงกันข้ามกับคำสั่งแห่งความสุภาพเรียบร้อย ดำเนินประโยคแรก จากนั้นทุกอย่างจะกลายเป็นม่าน ตามรุ่นหนึ่ง Pythagoreans ถูกฆ่าตาย (ค่อนข้างจะรอดและต้องขอบคุณพวกเขาที่ความคิดทั้งหมดไม่ได้ถูกนำไปที่หลุมฝังศพ) ตามที่อื่นสาวกเองก็เชื่อฟังขับไล่เจ้านายอันเป็นที่รักและเขาจบชีวิตด้วยการเนรเทศที่ไหนสักแห่ง . นิกายนี้สิ้นไป
เราทุกคนทราบคำพูดของวินสตัน เชอร์ชิลล์ที่ว่า "ในประวัติศาสตร์ของความขัดแย้งของมนุษย์ ไม่เคยมีคนจำนวนมากเป็นหนี้มากเป็นหนี้น้อยมาก" เป็นเรื่องเกี่ยวกับนักบินที่ปกป้องอังกฤษจากเครื่องบินเยอรมันในปี 1940 หากเราแทนที่ "ความขัดแย้งของมนุษย์" ด้วย "ความคิดของมนุษย์" คำพูดนี้ใช้ได้กับชาวพีทาโกรัสจำนวนหนึ่งที่หลบหนี (น้อยมาก) จากกรอมเมื่อสิ้นสุด XNUMX ศตวรรษที่ XNUMX ก่อนคริสต์ศักราช
ดังนั้น "ความคิดผ่านพ้นอันตราย" อะไรต่อไป? วัยทองกำลังจะมาถึง ชาวกรีกเอาชนะชาวเปอร์เซีย (มาราธอน - 490 ปีก่อนคริสตกาล, การชำระเงิน - 479) ประชาธิปไตยกำลังแข็งแกร่งขึ้น ศูนย์กลางทางความคิดเชิงปรัชญาและโรงเรียนใหม่กำลังเกิดขึ้น สาวกพีทาโกรัสกำลังประสบปัญหาเรื่องจำนวนอตรรกยะ บางคนพูดว่า: “เราจะไม่เข้าใจความลึกลับนี้ เราทำได้แค่พิจารณาและชื่นชม Uncharted เท่านั้น” อย่างหลังมีความเป็นไปในทางปฏิบัติมากกว่าและไม่เคารพความลึกลับ: “หากมีสิ่งผิดปกติกับตัวเลขเหล่านี้ ปล่อยให้พวกเขาอยู่คนเดียวหลังจาก 2500 ปีทุกอย่างจะกลายเป็นที่รู้กัน บางทีตัวเลขก็ไม่ได้ครองโลก? เริ่มจากเรขาคณิตกันก่อน ไม่ใช่ตัวเลขที่สำคัญอีกต่อไป แต่เป็นสัดส่วนและอัตราส่วน
ผู้สนับสนุนทิศทางแรกเป็นที่รู้จักของนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เช่น เสียงสะท้อนพวกเขามีชีวิตอยู่ต่อไปอีกสองสามศตวรรษและก็เท่านั้น คนหลังเรียกตัวเองว่า คณิตศาสตร์ (จากภาษากรีก mathein = รู้, เรียนรู้). เราไม่จำเป็นต้องอธิบายให้ใครฟังว่าวิธีการนี้ได้รับชัยชนะ: มันดำเนินมาเป็นเวลายี่สิบห้าศตวรรษและประสบความสำเร็จ
ชัยชนะของนักคณิตศาสตร์เหนือออซเมติกส์นั้นแสดงออกโดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปลักษณ์ของสัญลักษณ์ใหม่ของพีทาโกรัส: จากนี้ไปเป็นรูปดาวห้าแฉก (เพนตา = ห้า, ไวยากรณ์ = จดหมาย, จารึก) - รูปห้าเหลี่ยมปกติในรูปของ ดาว. กิ่งก้านของมันตัดกันตามสัดส่วนอย่างยิ่ง: ทั้งหมดหมายถึงส่วนที่ใหญ่กว่าและส่วนที่ใหญ่กว่าถึงส่วนที่เล็กกว่าเสมอ เขาโทรมา สัดส่วนพระเจ้าแล้วฆราวาสเพื่อ ทอง. ชาวกรีกโบราณ (และข้างหลังพวกเขาทั้งโลก Eurocentric) เชื่อว่าสัดส่วนนี้เป็นที่ชื่นชอบมากที่สุดสำหรับสายตามนุษย์และพบได้เกือบทุกที่
(Cyprian Camille Norvid, Prometidion)
ฉันจะจบด้วยอีกหนึ่งตอน คราวนี้มาจากบทกวี "เฟาสต์" (แปลโดย Vladislav August Kostelsky) รูปดาวห้าแฉกยังเป็นภาพของประสาทสัมผัสทั้งห้าและ "เท้าของหมอผี" ที่มีชื่อเสียง ในบทกวีของเกอเธ่ ดร.เฟาสท์ต้องการปกป้องตัวเองจากปีศาจด้วยการวาดสัญลักษณ์นี้ไว้ที่ธรณีประตูบ้านของเขา เขาทำโดยไม่ได้ตั้งใจ และนี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
เฟาสต์
M epistopheles
เฟาสต์
และนี่คือทั้งหมดที่เกี่ยวกับรูปห้าเหลี่ยมปกติในช่วงต้นปีการศึกษาใหม่
