คณิตศาสตร์เครื่องใหม่? รูปแบบที่หรูหราและทำอะไรไม่ถูก

ตามที่ผู้เชี่ยวชาญบางคนกล่าวไว้ เครื่องจักรสามารถประดิษฐ์หรือค้นพบคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ที่มนุษย์เราไม่เคยเห็นหรือคิดมาก่อนก็ได้ หากคุณต้องการ คนอื่นโต้แย้งว่าเครื่องจักรไม่ได้ประดิษฐ์อะไรขึ้นมาเอง พวกเขาสามารถแสดงสูตรที่เรารู้ในวิธีที่ต่างออกไปเท่านั้น และไม่สามารถรับมือกับปัญหาทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้เลย

ล่าสุด กลุ่มนักวิทยาศาสตร์จาก Technion Institute ในอิสราเอล และ Google นำเสนอ ระบบอัตโนมัติสำหรับสร้างทฤษฎีบทซึ่งเรียกว่าเครื่องรามานุจันตามชื่อนักคณิตศาสตร์ ศรีนิวาสี รามานุชานะผู้พัฒนาสูตรที่แปลกใหม่หลายพันสูตรในทฤษฎีจำนวนโดยมีการศึกษาตามแบบแผนเพียงเล็กน้อยหรือไม่มีเลย ระบบที่พัฒนาโดยนักวิจัยได้เปลี่ยนสูตรดั้งเดิมและที่สำคัญจำนวนหนึ่งให้เป็นค่าคงที่สากลที่ปรากฏในคณิตศาสตร์ บทความเกี่ยวกับหัวข้อนี้ได้รับการตีพิมพ์ในวารสาร Nature

หนึ่งในสูตรที่เครื่องสร้างขึ้นสามารถใช้ในการคำนวณค่าคงที่สากลที่เรียกว่า หมายเลขคาตาลันมีประสิทธิภาพมากกว่าการใช้สูตรที่มนุษย์ค้นพบก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์อ้างว่า รถของรามานุจัน มันไม่ได้หมายถึงการเอาคณิตศาสตร์ไปจากคนอื่น แต่เพื่อให้ความช่วยเหลือนักคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าระบบของพวกเขาไร้ความทะเยอทะยาน ขณะที่พวกเขาเขียน เครื่องจักร "พยายามเลียนแบบสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ และให้คำแนะนำสำหรับภารกิจทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติม"

ระบบตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับค่าคงที่สากล (เช่น) เขียนเป็นสูตรที่สวยงามเรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่องหรือเศษส่วนต่อเนื่อง (1) นี้เป็นชื่อของวิธีการแสดงจำนวนจริงเป็นเศษส่วนในรูปแบบพิเศษหรือขีด จำกัด ของเศษส่วนดังกล่าว เศษส่วนต่อเนื่องสามารถมีจำกัดหรือมีผลหารจำนวนมากอย่างอนันต์_i/b_i; เศษส่วน A_k/B_k ได้จากการทิ้งเศษส่วนบางส่วนในเศษส่วนที่ต่อเนื่อง โดยเริ่มจาก (k + 1)th เรียกว่า kth reduct และสามารถคำนวณได้โดยสูตร:_-1= 1, เอ₀=b₀, B_-1=0,ว₀= 1, เอ_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; ถ้าลำดับของการลดลงมาบรรจบกันจนถึงขีดจำกัดจำกัด เศษส่วนที่ต่อเนื่องจะเรียกว่าลู่เข้า มิฉะนั้นจะแยกทางกัน เศษส่วนที่ต่อเนื่องเรียกว่าเลขคณิต if_i= 1, p₀ เสร็จแล้ว ข_i (i>0) – ธรรมชาติ; เศษส่วนต่อเลขคณิตมาบรรจบกัน ทุกจำนวนจริงจะขยายเป็นเศษส่วนเลขคณิตอย่างต่อเนื่อง ซึ่งจำกัดเฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้น

1. ตัวอย่างการเขียน Pi เป็นเศษส่วนต่อเนื่อง

อัลกอริธึมเครื่องรามานุจัน เลือกค่าคงที่สากลสำหรับด้านซ้ายและเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับด้านขวา จากนั้นคำนวณแต่ละด้านแยกกันด้วยความแม่นยำ หากทั้งสองฝ่ายซ้อนทับกัน ปริมาณจะถูกคำนวณด้วยความแม่นยำมากขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าการจับคู่นั้นไม่ตรงกันหรือไม่ถูกต้อง ที่สำคัญ มีสูตรอยู่แล้วที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของค่าคงที่สากลได้ ตัวอย่างเช่น ด้วยความแม่นยำใดๆ ดังนั้นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวในการตรวจสอบความสอดคล้องของหน้าคือเวลาในการคำนวณ

ก่อนที่จะใช้อัลกอริธึมดังกล่าว นักคณิตศาสตร์ต้องใช้อัลกอริธึมที่มีอยู่ก่อน ความรู้ทางคณิตศาสตร์ i ทฤษฎีบทตั้งสมมติฐานดังกล่าว ด้วยการคาดเดาอัตโนมัติที่สร้างโดยอัลกอริธึม นักคณิตศาสตร์จึงสามารถใช้พวกมันเพื่อสร้างทฤษฎีบทที่ซ่อนอยู่หรือผลลัพธ์ที่ "สง่างาม" มากขึ้นได้

การค้นพบนักวิจัยที่โดดเด่นที่สุดไม่ใช่ความรู้ใหม่มากนักในฐานะสมมติฐานใหม่ที่มีความสำคัญอย่างน่าประหลาดใจ สิ่งนี้ทำให้ การคำนวณค่าคงที่คาตาลันค่าคงที่สากลที่ต้องการค่าในปัญหาทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก การแสดงมันเป็นเศษส่วนต่อเนื่องในข้อสมมติที่เพิ่งค้นพบใหม่ช่วยให้สามารถคำนวณได้เร็วที่สุดจนถึงปัจจุบัน โดยเอาชนะสูตรก่อนหน้าซึ่งใช้เวลานานกว่าในการประมวลผลในคอมพิวเตอร์ ดูเหมือนว่าจะเป็นจุดเริ่มต้นของความก้าวหน้าใหม่สำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ตั้งแต่เมื่อคอมพิวเตอร์เอาชนะผู้เล่นหมากรุกได้เป็นครั้งแรก

สิ่งที่ AI รับมือไม่ได้

อัลกอริทึมของเครื่อง อย่างที่คุณเห็น พวกเขาทำบางสิ่งด้วยวิธีการที่สร้างสรรค์และมีประสิทธิภาพ ต้องเผชิญกับปัญหาอื่น ๆ พวกเขาทำอะไรไม่ถูก กลุ่มนักวิจัยที่มหาวิทยาลัยวอเตอร์ลูในแคนาดาค้นพบปัญหาประเภทหนึ่งโดยใช้ การเรียนรู้ของเครื่อง. การค้นพบนี้เชื่อมโยงกับความขัดแย้งที่นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย Kurt Gödel อธิบายไว้ในช่วงกลางศตวรรษที่ผ่านมา

Shai Ben-David นักคณิตศาสตร์และทีมของเขาได้นำเสนอโมเดลการเรียนรู้ด้วยเครื่องที่เรียกว่าการทำนายสูงสุด (EMX) ในการตีพิมพ์ในวารสาร Nature ดูเหมือนว่างานง่าย ๆ จะเป็นไปไม่ได้สำหรับปัญญาประดิษฐ์ ปัญหาที่เกิดจากทีมงาน เชย์ เบน-เดวิด ลงมาเพื่อคาดการณ์แคมเปญโฆษณาที่ทำกำไรได้มากที่สุด โดยเน้นที่ผู้อ่านที่เข้าชมเว็บไซต์บ่อยที่สุด มีความเป็นไปได้มากมายที่โครงข่ายประสาทเทียมไม่สามารถค้นหาฟังก์ชันที่จะทำนายพฤติกรรมของผู้ใช้ไซต์ได้อย่างถูกต้อง โดยมีเพียงตัวอย่างข้อมูลเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ปรากฎว่าปัญหาบางอย่างที่เกิดจากโครงข่ายประสาทเทียมนั้นเทียบเท่ากับสมมติฐานความต่อเนื่องของจอร์จ คันทอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้พิสูจน์ว่าจำนวนนับของเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นน้อยกว่าจำนวนนับของเซตของจำนวนจริง แล้วเขาก็ถามคำถามที่เขาไม่สามารถตอบได้ กล่าวคือ เขาสงสัยว่ามีเซตอนันต์ที่มีคาร์ดินัลลิตี้น้อยกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของ .หรือไม่ เซตของจำนวนจริงแต่มีพลังมากกว่า ชุดตัวเลขธรรมชาติ.

นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียในศตวรรษที่ XNUMX Kurt Gödel พิสูจน์แล้วว่าสมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถระบุได้ในระบบคณิตศาสตร์ปัจจุบัน ตอนนี้ปรากฎว่านักคณิตศาสตร์ที่ออกแบบโครงข่ายประสาทเทียมประสบปัญหาที่คล้ายกัน

ดังที่เราเห็น แม้ว่าเราจะมองไม่เห็น แต่ก็ช่วยไม่ได้เมื่อเผชิญกับข้อจำกัดพื้นฐาน นักวิทยาศาสตร์สงสัยว่าปัญหาของคลาสนี้ เช่น เซตอนันต์ เป็นต้น