ทำไมเราไม่หารด้วยศูนย์?

ผู้อ่านอาจสงสัยว่าเหตุใดฉันจึงอุทิศบทความทั้งหมดให้กับปัญหาซ้ำซาก เหตุผลก็คือจำนวนนักเรียนที่ส่ายหน้า (!) อย่างไม่เป็นทางการในการดำเนินการภายใต้ชื่อ และไม่ใช่แค่นักเรียนเท่านั้น บางครั้งฉันจับและครู นักเรียนของครูเหล่านี้จะทำอะไรได้บ้างในวิชาคณิตศาสตร์? เหตุผลในการเขียนข้อความนี้คือการสนทนากับครูที่หารด้วยศูนย์ไม่มีปัญหา ...

ด้วยศูนย์ใช่ ยกเว้นความยุ่งยากที่ไม่มีอะไรเลย เพราะเราไม่จำเป็นต้องใช้มันในชีวิตประจำวันจริงๆ เราไม่ไปซื้อไข่เป็นศูนย์ “มีคนอยู่ในห้องหนึ่งคน” ฟังดูเป็นธรรมชาติ และ “คนเป็นศูนย์” ฟังดูประดิษฐ์ นักภาษาศาสตร์กล่าวว่าศูนย์อยู่นอกระบบภาษา

เราสามารถทำได้โดยไม่มีเลขศูนย์ในบัญชีธนาคารเช่นกัน เพียงใช้ - เช่นเดียวกับเทอร์โมมิเตอร์ - สีแดงและสีน้ำเงินสำหรับค่าบวกและลบ (โปรดทราบว่าสำหรับอุณหภูมิ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สีแดงสำหรับตัวเลขที่เป็นบวก และสำหรับบัญชีธนาคารนั้น เป็นอีกทางหนึ่ง เนื่องจากเดบิตควรทริกเกอร์คำเตือน ดังนั้นขอแนะนำเป็นสีแดง)

เมื่อรวมศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติ เราสัมผัสถึงปัญหาความแตกต่าง หมายเลขคาร์ดินัล od ครัวเรือน. ภายใน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

เลขยกกำลังเท่ากับเลขหลักตำแหน่ง ไม่งั้นก็อยู่ในลำดับ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

จำนวนชุดซิงเกิลมาเป็นอันดับสอง จำนวนชุดที่มีสององค์ประกอบมาเป็นอันดับสาม และอื่นๆ เราต้องอธิบายว่าทำไม เช่น เราไม่ได้นับอันดับนักกีฬาในการแข่งขันตั้งแต่เริ่มต้น จากนั้นผู้ชนะอันดับหนึ่งจะได้รับเหรียญเงิน (เหรียญทอง ตกเป็นของผู้ชนะอันดับที่ XNUMX) และอื่น ๆ มีการใช้ขั้นตอนที่คล้ายกันในฟุตบอล - ฉันไม่รู้ว่าผู้อ่านรู้หรือไม่ว่า "ลีกวัน" หมายถึง " ทำตามอย่างดีที่สุด" “ และลีกศูนย์ถูกเรียกว่าเป็น “ลีกใหญ่”

บางครั้งเราได้ยินข้อโต้แย้งว่าเราต้องเริ่มต้นใหม่เพราะมันสะดวกสำหรับคนไอที จากการพิจารณาเหล่านี้ต่อไปควรเปลี่ยนคำจำกัดความของกิโลเมตร - ควรเป็น 1024 ม. เพราะนี่คือจำนวนไบต์ในหนึ่งกิโลไบต์ (ฉันจะอ้างถึงเรื่องตลกที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์รู้จัก: "อะไรคือความแตกต่างระหว่างน้องใหม่และ นักศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์และนักศึกษาชั้นปีที่ 1000 ของคณะนี้ กิโลไบต์คือ 1024 กิโลไบต์ สุดท้ายคือหนึ่งกิโลเมตรคือ XNUMX เมตร")!

อีกมุมมองหนึ่งที่ควรได้รับการพิจารณาอย่างจริงจังแล้วคือ: เราวัดจากศูนย์เสมอ! การดูมาตราส่วนใด ๆ บนไม้บรรทัดบนตาชั่งในครัวเรือนหรือแม้แต่นาฬิกาก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากเราวัดจากศูนย์ และการนับสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการวัดด้วยหน่วยไร้มิติ ดังนั้นเราควรนับจากศูนย์

เป็นเรื่องง่ายๆ แต่...

ปล่อยให้เหตุผลทั่วไปและกลับไปที่การหารด้วยศูนย์ เรื่องนี้เป็นเรื่องง่ายและมันจะง่ายถ้าไม่ใช่เพื่อ ... แล้วอะไรล่ะ? ลองคิดและลองทำดู ได้เท่าไร - หนึ่งหารด้วยศูนย์? ลองดู: 1/0 = x. คูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนของด้านซ้าย.

เราได้ 1=0 บางสิ่งบางอย่างที่ไม่ถูกต้อง! เกิดอะไรขึ้น? อา เดา! สมมติฐานที่ว่ามีความฉลาดของความสามัคคีและเป็นศูนย์นำไปสู่ความขัดแย้ง และถ้าตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยศูนย์ไม่ได้ ตัวเลขอื่นก็สามารถหารได้ ถ้า Reader คุณยักไหล่และสงสัยว่าทำไมผู้เขียน (นั่นคือฉัน) เขียนเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจเช่นนั้น ... ฉันดีใจมาก!

สูตร 0/0 = 0 สามารถป้องกันได้แบบดื้อรั้น แต่ขัดกับกฎที่ว่าผลลัพธ์ของการแบ่งตัวเลขด้วยตัวมันเองมีค่าเท่ากับหนึ่ง แน่นอน แต่แตกต่างกันค่อนข้างเป็นสัญลักษณ์เช่น 0/0, °/° และสิ่งที่คล้ายคลึงกันในแคลคูลัส ไม่ได้หมายถึงตัวเลขใดๆ แต่เป็นการกำหนดสัญลักษณ์สำหรับลำดับเฉพาะบางประเภท

ในหนังสือวิศวกรรมไฟฟ้า ฉันพบการเปรียบเทียบที่น่าสนใจ การหารด้วยศูนย์นั้นอันตรายพอๆ กับไฟฟ้าแรงสูง นี่เป็นเรื่องปกติ: กฎของโอห์มระบุว่าอัตราส่วนของแรงดันต่อความต้านทานเท่ากับกระแส: V = U / R หากความต้านทานเป็นศูนย์ กระแสอนันต์ตามทฤษฎีจะไหลผ่านตัวนำและเผาตัวนำทั้งหมดที่เป็นไปได้

ครั้งหนึ่งฉันเคยเขียนบทกวีเกี่ยวกับอันตรายของการหารด้วยศูนย์ทุกวันในสัปดาห์ ฉันจำได้ว่าวันที่น่าตื่นเต้นที่สุดคือวันพฤหัสบดี แต่น่าเสียดายที่งานทั้งหมดของฉันในพื้นที่นี้

เมื่อคุณหารบางสิ่งด้วยศูนย์

เช้าตรู่วันจันทร์

สัปดาห์ที่มันเพิ่งเกิดขึ้น

คุณล้มเหลวอย่างน่าสังเวชแล้ว

เมื่อบ่ายวันอังคาร

คุณใส่ศูนย์ในตัวส่วน

บอกเลยว่าคิดผิด

นักคณิตศาสตร์แย่!

เมื่อผ่านศูนย์ ผ่านการวิปริต

อยากแยกวันพุธ

ท่านจะเดือดร้อนมาก

คุณมีหญ้าแห้งและน้ำอยู่ในหัวของคุณ!

Bartek บางคนอยู่กับเรา

เขาขัดแย้งกับกฎเกณฑ์

ในวันพฤหัสบดี จะหารด้วยศูนย์ลงตัว

เขาไม่อยู่ระหว่างเราอีกต่อไป!

หากความปรารถนาแปลก ๆ เข้าครอบงำคุณ

หารด้วยศูนย์ในวันศุกร์

ฉันจะซื่อสัตย์ฉันจะซื่อสัตย์:

เริ่มต้นวันหยุดสุดสัปดาห์นี้ไม่ดี

เมื่อเป็นศูนย์ ที่ไหนสักแห่งในวันเสาร์

ตัวแบ่งจะเป็นของคุณ (ไม่หนา)

คุกเข่าใต้รั้วโบสถ์

นี่คือการฟื้นคืนชีพของคุณ

คุณต้องการศูนย์ภายใต้เส้นประ

หยุดวันอาทิตย์

นำชอล์คกระดานดำ

เขียน: มันหารด้วยศูนย์ไม่ลงตัว!

ศูนย์เกี่ยวข้องกับความว่างเปล่าและความว่างเปล่า อันที่จริง เขาใช้คณิตศาสตร์เป็นปริมาณที่เมื่อบวกเข้าไปแล้วไม่มีการเปลี่ยนแปลง: x + 0 = x แต่ตอนนี้ XNUMX ปรากฏในค่าอื่นๆ อีกหลายค่า ที่โดดเด่นที่สุดคือ ขนาดเริ่มต้น. หากนอกหน้าต่างไม่มีอุณหภูมิเป็นบวกหรือมีน้ำค้างแข็ง แสดงว่า ... นี่เป็นศูนย์ซึ่งไม่ได้หมายความว่าไม่มีอุณหภูมิเลย อนุสาวรีย์ชั้นศูนย์ไม่ใช่สิ่งที่ถูกทำลายไปนานแล้วและไม่มีอยู่จริง ตรงกันข้าม มันเหมือนกับ Wawel หอไอเฟล และเทพีเสรีภาพ

ความสำคัญของศูนย์ในระบบตำแหน่งนั้นแทบจะไม่สามารถประเมินค่าสูงไปได้เลย คุณรู้ไหมรีดเดอร์ บิล เกตส์มีเลขศูนย์ในบัญชีธนาคารของเขากี่ตัว? ไม่รู้ แต่ขอครึ่งนึง เห็นได้ชัดว่านโปเลียน โบนาปาร์ตสังเกตว่าผู้คนเป็นเหมือนศูนย์ พวกเขาได้รับความหมายผ่านตำแหน่ง ในภาพยนตร์ของ Andrzej Wajda เรื่อง As the Years, As the Days Go by เจอร์ซี ศิลปินผู้หลงใหลในความคลั่งไคล้ได้ระเบิดออกมา: "The Philistine is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero" แต่ศูนย์อาจเป็นสิ่งที่ดี: "การเบี่ยงเบนจากบรรทัดฐานเป็นศูนย์" หมายความว่าทุกอย่างเป็นไปด้วยดี และรักษามันไว้!

กลับไปที่คณิตศาสตร์กันเถอะ สามารถเพิ่ม ลบ และคูณศูนย์ได้โดยไม่ต้องรับโทษ “ ฉันได้รับศูนย์กิโลกรัม” Manya พูดกับ Anya “และนี่ก็น่าสนใจเพราะฉันลดน้ำหนักได้เท่าเดิม” อัญญาตอบ งั้นเรามากินไอศกรีมกันหกศูนย์กันหกครั้งก็ไม่เสียหายอะไร

เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แต่เราสามารถหารด้วยศูนย์ได้ สามารถแจกเกี๊ยวซ่าจานศูนย์ให้กับผู้ที่รออาหารได้อย่างง่ายดาย แต่ละคนจะได้เท่าไหร่?

ศูนย์ไม่เป็นบวกหรือลบ นี้และหมายเลข ไม่เป็นบวกи ไม่เป็นลบ. มันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน x≥0 และ x≤0 ความขัดแย้ง "สิ่งที่เป็นบวก" ไม่ใช่ "สิ่งที่เป็นลบ" แต่เป็น "สิ่งที่เป็นลบหรือเท่ากับศูนย์" นักคณิตศาสตร์ซึ่งขัดกับกฎของภาษานั้นมักจะพูดว่าบางสิ่ง "เท่ากับศูนย์" ไม่ใช่ "ศูนย์" เพื่อพิสูจน์แนวปฏิบัตินี้ เรามี: หากเราอ่านสูตร x = 0 "x เป็นศูนย์" แล้ว x = 1 เราอ่านว่า "x เท่ากับหนึ่ง" ซึ่งสามารถกลืนเข้าไปได้ แต่ "x = 1534267" ล่ะ? คุณยังกำหนดค่าตัวเลขให้กับอักขระ0 .ไม่ได้⁰หรือเพิ่มศูนย์เป็นกำลังลบ ในทางกลับกัน คุณสามารถรูทศูนย์ได้ตามต้องการ... และผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ 

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a^xฐานบวกของ a ไม่เคยกลายเป็นศูนย์ มันตามมาว่าไม่มีลอการิทึมศูนย์ อันที่จริง ลอการิทึมของ a ยกกำลังฐาน b เป็นเลขชี้กำลังซึ่งต้องยกฐานเพื่อให้ได้ลอการิทึมของ a สำหรับ a = 0 ไม่มีตัวบ่งชี้ดังกล่าว และศูนย์ไม่สามารถเป็นฐานของลอการิทึมได้ อย่างไรก็ตาม ศูนย์ใน "ตัวส่วน" ของสัญลักษณ์นิวตันเป็นอย่างอื่น เราคิดว่าอนุสัญญาเหล่านี้ไม่นำไปสู่ความขัดแย้ง

หลักฐานเท็จ

การหารด้วยศูนย์เป็นเรื่องทั่วไปสำหรับการพิสูจน์เท็จ และเกิดขึ้นได้แม้กระทั่งกับนักคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์ ให้ฉันยกตัวอย่างสองตัวอย่างที่ฉันโปรดปราน ที่แรกก็คือพีชคณิต ฉันจะ "พิสูจน์" ว่าตัวเลขทั้งหมดเท่ากัน สมมติว่ามีตัวเลขสองตัวที่ไม่เท่ากัน ดังนั้น ตัวใดตัวหนึ่งจึงมากกว่าตัวอื่น ให้ a > b สมมติว่า c คือความแตกต่างของพวกเขา

ค \uXNUMXd a - b ดังนั้นเราจึงมี - b = c โดยที่ a = b + c

เราคูณทั้งสองส่วนหลังด้วย a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc

ฉันแปล ak ไปทางซ้าย แน่นอนว่าฉันจำการเปลี่ยนเครื่องหมายได้:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc

ฉันไม่รวมปัจจัยทั่วไป:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c)

ฉันแบ่งปันและฉันมีสิ่งที่ต้องการ:

ก = ข

เพราะฉันคิดว่า a > b และฉันได้ a = b หากในตัวอย่างด้านบน "การโกง" ง่ายต่อการจดจำ ดังนั้นในการพิสูจน์ทางเรขาคณิตด้านล่าง มันไม่ง่ายนัก ฉันจะพิสูจน์ว่า ... สี่เหลี่ยมคางหมูไม่มีอยู่จริง รูปที่เรียกกันทั่วไปว่าสี่เหลี่ยมคางหมูไม่มีอยู่จริง

แต่สมมุติก่อนว่ามีสิ่งเช่นสี่เหลี่ยมคางหมู (ABCD ในรูปด้านล่าง) มันมีสองด้านขนานกัน ("ฐาน") ลองยืดฐานเหล่านี้ตามที่แสดงในรูปภาพเพื่อเราจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมของมันแบ่งเส้นทแยงมุมอีกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นส่วน ๆ โดยมีความยาวแทน x, y, z ดังเช่นใน รูปที่ 1. จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง เราได้สัดส่วน:

ที่เรากำหนด:

Oraz

ที่เรากำหนด:

ลบด้านความเท่าเทียมกันที่มีเครื่องหมายดอกจัน:

 เมื่อทำให้ทั้งสองข้างสั้นลงด้วย x − z เราจะได้ – a/b = 1 ซึ่งหมายความว่า a + b = 0 แต่ตัวเลข a, b คือความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู หากผลรวมเป็นศูนย์ก็จะเท่ากับศูนย์ด้วย ซึ่งหมายความว่าไม่มีรูปร่างเหมือนสี่เหลี่ยมคางหมู! และเนื่องจากสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูเช่นกัน ดังนั้นท่านผู้อ่านที่รัก จึงไม่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยม และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นกัน ...

เดาเดา

การแบ่งปันข้อมูลเป็นกิจกรรมพื้นฐานที่น่าสนใจและท้าทายที่สุดในสี่กิจกรรม ที่นี่เป็นครั้งแรกที่เราพบกับปรากฏการณ์ทั่วไปในวัยผู้ใหญ่: "เดาคำตอบแล้วตรวจสอบว่าคุณเดาถูกหรือไม่" สิ่งนี้แสดงออกอย่างเหมาะสมโดย Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?” ใน How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):

วิธีการ "เดา" นี้ไม่รบกวนชีวิตในวัยผู้ใหญ่ของเรา อาจเป็นเพราะเราเรียนรู้ตั้งแต่เนิ่นๆ และการเดาก็ไม่ยาก ตามอุดมคติแล้ว ปรากฏการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นได้ เช่น ในการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ (สมบูรณ์) ในที่เดียวกัน เรา "เดา" สูตรแล้วตรวจสอบว่าการเดาของเราถูกต้องหรือไม่ นักเรียนมักถาม: “เรารู้รูปแบบได้อย่างไร? จะเอาออกไปได้ยังไง” เมื่อนักเรียนถามคำถามนี้กับฉัน ฉันเปลี่ยนคำถามของพวกเขาเป็นเรื่องตลก: "ฉันรู้เรื่องนี้เพราะฉันเป็นมืออาชีพ นักเรียนที่โรงเรียนสามารถตอบได้ในลักษณะเดียวกันเท่านั้นอย่างจริงจังมากขึ้น

การออกกำลังกาย. โปรดทราบว่าเราเริ่มการบวกและเขียนการคูณด้วยหน่วยที่ต่ำที่สุดและการหารด้วยหน่วยสูงสุด

การผสมผสานของสองความคิด

ครูคณิตศาสตร์ได้ชี้ให้เห็นเสมอว่าสิ่งที่เราเรียกว่าการแยกตัวของผู้ใหญ่คือการรวมเอาสองแนวคิดที่แตกต่างกันทางแนวคิด: การเคหะ i การแยกทาง.

คนแรก (การเคหะ) เกิดขึ้นในงานที่แม่แบบคือ:

แบ่งหาร เหล่านี้เป็นงานเช่น:

? (เรายังคงรูปแบบเดิมของปัญหานี้ โดยนำมาจากหนังสือคู่มือของ Julian Zgozalewicz ที่ตีพิมพ์ในคราคูฟในปี 1892 - złoty คือ Rhenish złoty ซึ่งเป็นสกุลเงินที่หมุนเวียนในจักรวรรดิออสเตรีย-ฮังการีจนถึงต้นศตวรรษที่ XNUMX)

พิจารณาสองปัญหากับ ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดในโปแลนด์บิดา Tomasz Clos (1538) มันเป็นดิวิชั่นหรือคูเป้? แก้ปัญหาในแบบที่เด็กนักเรียนในศตวรรษที่ XNUMX ควร:

(การแปลภาษาโปแลนด์เป็นภาษาโปแลนด์: มีหม้อหนึ่งควอร์ตและหม้อสี่ใบในหนึ่งถัง หม้อหนึ่งมีสี่ควอร์ต มีคนซื้อไวน์ 20 บาร์เรลในราคา 50 złเพื่อการค้า ภาษีและภาษี (สรรพสามิต?) จะเท่ากับ 8 zł เท่าไหร่ ขายควอร์ตเพื่อรับ 8 zł?)

กีฬา ฟิสิกส์ ความสอดคล้อง

บางครั้งในกีฬาคุณต้องหารบางอย่างด้วยศูนย์ (อัตราส่วนเป้าหมาย) ผู้พิพากษาจัดการกับมันอย่างใด อย่างไรก็ตาม ในพีชคณิตนามธรรม พวกเขาอยู่ในวาระการประชุม ปริมาณที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นศูนย์ มันสามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยซ้ำ

พิจารณาฟังก์ชัน F ที่เชื่อมโยงจุด (y, 0) กับจุดในระนาบ (x, y) F .คืออะไร²นั่นคือการดำเนินการสองเท่าของ F? ฟังก์ชัน Zero - แต่ละจุดมีรูปภาพ (0,0)

ในที่สุด ปริมาณที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีกำลังสองเป็น 0 นั้นเป็นขนมปังเกือบทุกวันสำหรับนักฟิสิกส์ และตัวเลขในรูปแบบ a + bε โดยที่ ε ≠ 0 แต่ ε² = 0, นักคณิตศาสตร์เรียก เลขคู่. เกิดขึ้นในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ท้ายที่สุด มีบางอย่างในเลขคณิตที่มีการหารด้วยศูนย์อย่างน้อยในชื่อ มันมาจาก ความสอดคล้อง. ให้ Z แทนเซตของจำนวนเต็ม การหารเซต Z ด้วย p หมายความว่าเรานำตัวเลขแต่ละตัว (จำนวนเต็ม) มาเทียบเคียงกับตัวเลขอื่นๆ ซึ่งก็คือจำนวนที่ผลต่างของพวกมันหารลงตัว ดังนั้น เมื่อเรามีตัวเลขห้าประเภทที่สอดคล้องกับตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 - เศษที่เป็นไปได้เมื่อหารด้วย 5 สูตรเขียนดังนี้:

mod เมื่อผลต่างเป็นทวีคูณ

สำหรับ = 2 เรามีตัวเลขเพียงสองตัว: 0 และ 1 การหารจำนวนเต็มออกเป็นสองคลาสนั้นเทียบเท่ากับการหารพวกมันเป็นคู่และคี่ มาเปลี่ยนกันเถอะ ผลต่างหารด้วย 1 ลงตัวเสมอ (จำนวนเต็มใดๆ หารด้วย 1) ลงตัว เป็นไปได้ไหมที่จะใช้ =0? มาลองดูกัน: เมื่อใดที่ผลต่างของตัวเลขสองตัวเป็นทวีคูณของศูนย์ เมื่อเลขสองตัวนี้เท่ากันเท่านั้น การหารชุดของจำนวนเต็มด้วยศูนย์จึงสมเหตุสมผล แต่ก็ไม่น่าสนใจ ไม่มีอะไรเกิดขึ้น อย่างไรก็ตามควรเน้นว่านี่ไม่ใช่การหารตัวเลขตามความหมายที่รู้จักในโรงเรียนประถม

การกระทำดังกล่าวเป็นสิ่งต้องห้ามอย่างง่ายๆ เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์ที่ยาวและกว้าง

ข้าว. 2. การระบุตัวเลขโดยใช้การเปรียบเทียบ

(โหมด 5 และโหมด 2)