การเดินทางสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์อันไม่จริง
ฉันเขียนบทความนี้ในสภาพแวดล้อมหนึ่งหลังการบรรยายและการฝึกฝนในวิทยาลัยวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฉันปกป้องตัวเองจากการวิจารณ์นักเรียนของโรงเรียนนี้ ความรู้ ทัศนคติต่อวิทยาศาสตร์ และที่สำคัญที่สุด: ทักษะการสอน นี่... ไม่มีใครสอนพวกเขา
ทำไมฉันจึงป้องกัน? ด้วยเหตุผลง่ายๆ - ฉันอยู่ในวัยที่อาจยังไม่เข้าใจโลกรอบตัวเรา บางทีฉันอาจจะสอนพวกเขาให้บังคับม้าและปลดม้า ไม่ใช่ให้ขับรถ? บางทีฉันอาจสอนให้พวกเขาเขียนด้วยปากกาขนนก? แม้ว่าฉันจะมีความคิดเห็นที่ดีกว่าเกี่ยวกับบุคคล แต่ฉันถือว่าตัวเองกำลัง "ตาม" แต่...
จนกระทั่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ในโรงเรียนมัธยมพวกเขาพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน และในวันพุธนี้เองที่ฉันกลับบ้าน เลิกเรียน - แทบไม่มีนักเรียนคนไหนเลยที่ได้เรียนรู้ว่ามันคืออะไรและใช้ตัวเลขเหล่านี้อย่างไร บางคนมองคณิตศาสตร์ทั้งหมดเหมือนห่านที่ประตูทาสี แต่ฉันก็ประหลาดใจจริงๆ เมื่อพวกเขาบอกฉันถึงวิธีการเรียนรู้ พูดง่ายๆ ก็คือ แต่ละชั่วโมงของการบรรยายเท่ากับการบ้านสองชั่วโมง: อ่านตำรา เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาในหัวข้อที่กำหนด ฯลฯ เมื่อเตรียมตัวด้วยวิธีนี้แล้วเราก็มาถึงแบบฝึกหัดที่เราปรับปรุงทุกอย่าง ... เห็นได้ชัดว่านักเรียนคิดว่าการนั่งในการบรรยาย - ส่วนใหญ่มักจะมองออกไปนอกหน้าต่าง - รับประกันการเข้าสู่ความรู้ในหัวแล้ว
หยุด! แค่นี้พอ ฉันจะอธิบายคำตอบของคำถามที่ฉันได้รับระหว่างชั้นเรียนกับเพื่อนๆ จาก National Children's Fund ซึ่งเป็นสถาบันที่สนับสนุนเด็กที่มีความสามารถจากทั่วประเทศ คำถาม (หรือมากกว่าข้อเสนอแนะ) คือ:
— คุณช่วยบอกเราเกี่ยวกับตัวเลขที่ไม่จริงได้ไหม?
“แน่นอน” ฉันตอบ
ความจริงของตัวเลข
“เพื่อนคืออีกคนหนึ่ง มิตรภาพคืออัตราส่วนของตัวเลข 220 และ 284” พีธากอรัสกล่าว ประเด็นคือผลรวมของตัวหารของหมายเลข 220 คือ 284 และผลรวมของตัวหารของหมายเลข 284 คือ 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 อย่างไรก็ตาม เราสังเกตว่ายาโคบในพระคัมภีร์ไบเบิลให้แกะและแกะผู้แก่เอซาว 220 ตัวเพื่อเป็นสัญลักษณ์แห่งมิตรภาพ (ปฐมกาล 32:14 ).
ความบังเอิญที่น่าสนใจอีกอย่างระหว่างตัวเลข 220 และ 284 คือ จำนวนเฉพาะสูงสุด 2 ตัว ได้แก่ 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 , และ XNUMX.
ผลรวมของมันคือ 2x220 และผลรวมของกำลังสองคือ 59x284
อันดับแรก. ไม่มีแนวคิดของ "จำนวนจริง" เหมือนกับหลังจากอ่านบทความเกี่ยวกับช้าง คุณถามว่า "ตอนนี้เราจะถามหาสัตว์ที่ไม่ใช่ช้าง" มีทั้งหมดและไม่ทั้งหมดมีเหตุผลและไม่มีเหตุผล แต่ไม่มีสิ่งที่ไม่จริง โดยเฉพาะ: ตัวเลขที่ไม่จริงจะไม่เรียกว่าไม่ถูกต้อง ในวิชาคณิตศาสตร์มี "ตัวเลข" หลายประเภท และพวกมันแตกต่างกัน เช่น - การเปรียบเทียบทางสัตววิทยา - ช้างกับไส้เดือน
ประการที่สอง เราจะดำเนินการที่คุณอาจทราบอยู่แล้วว่าเป็นสิ่งต้องห้าม: แยกรากที่สองของจำนวนลบ คณิตศาสตร์จะเอาชนะอุปสรรคดังกล่าวได้ มันสมเหตุสมผลไหม? ในวิชาคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ไม่ว่าทฤษฎีจะเข้าสู่คลังความรู้ตลอดไปหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับ ... การนำไปใช้ ถ้ามันไร้ประโยชน์มันก็จะจบลงในถังขยะจากนั้นก็เป็นขยะของประวัติศาสตร์แห่งความรู้ หากไม่มีตัวเลขที่ฉันพูดถึงในตอนท้ายของบทความนี้ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะพัฒนาคณิตศาสตร์ แต่เริ่มจากสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ก่อน จำนวนจริงคืออะไร คุณรู้ไหม พวกเขาเติมเส้นจำนวนอย่างหนาแน่นและไม่มีช่องว่าง คุณรู้ด้วยว่าจำนวนธรรมชาติคืออะไร: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ทั้งหมดจะไม่พอดีกับ หน่วยความจำที่ยิ่งใหญ่ที่สุด พวกเขายังมีชื่อที่สวยงาม: ธรรมชาติ พวกเขามีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
Karl Lindenholm กล่าวว่า "เป็นเรื่องปกติที่จะสนใจตัวเลขธรรมชาติ" และ Leopold Kronecker (1823-1891) กล่าวอย่างกระชับ: "พระเจ้าสร้างตัวเลขตามธรรมชาติ อย่างอื่นเป็นงานของมนุษย์!" เศษส่วน (เรียกว่าจำนวนตรรกยะโดยนักคณิตศาสตร์) ก็มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งเช่นกัน:
และเท่าเทียมกัน:
คุณสามารถเริ่มจากด้านซ้ายถูเครื่องหมายบวกแล้วแทนที่ด้วยเครื่องหมายคูณ - และความเท่าเทียมกันจะยังคงเป็นจริง:
เป็นต้น
อย่างที่คุณทราบ สำหรับเศษส่วน a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 เขาพูดว่า จำนวนตรรกยะ. แต่เฉพาะในโปแลนด์เท่านั้นที่พวกเขาเรียกตัวเองว่า พวกเขาพูดภาษาอังกฤษ ฝรั่งเศส เยอรมัน และรัสเซีย จำนวนตรรกยะ. ในภาษาอังกฤษ: จำนวนตรรกยะ. จำนวนอตรรกยะ มันไม่มีเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล เรายังพูดภาษาโปแลนด์เกี่ยวกับทฤษฎี ความคิด และการกระทำที่ไร้เหตุผล - นี่คือความบ้าคลั่ง จินตภาพ อธิบายไม่ได้ เขาว่ากันว่าผู้หญิงกลัวหนู มันไม่สมเหตุสมผลเหรอ?
ในสมัยโบราณ ตัวเลขมีจิตวิญญาณ แต่ละอันมีความหมายบางอย่าง แต่ละอันเป็นสัญลักษณ์ของบางสิ่งบางอย่าง แต่ละอันสะท้อนถึงอนุภาคแห่งความกลมกลืนของจักรวาล ซึ่งในภาษากรีกเรียกว่าจักรวาล คำว่า "จักรวาล" หมายถึง "ระเบียบ, ระเบียบ" อย่างแท้จริง ที่สำคัญที่สุดคือหก (จำนวนสมบูรณ์) และสิบ ซึ่งเป็นผลรวมของตัวเลขต่อเนื่องกัน 1+2+3+4 ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขอื่นๆ ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่ดำรงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ ดังนั้นพีทาโกรัสจึงสอนว่าตัวเลขเป็นจุดเริ่มต้นและที่มาของทุกสิ่ง และมีเพียงการค้นพบเท่านั้น จำนวนอตรรกยะ เปลี่ยนการเคลื่อนไหวของพีทาโกรัสไปทางเรขาคณิต เรารู้เหตุผลจากโรงเรียนว่า
√2 เป็นจำนวนอตรรกยะ
สมมุติว่ามี และเศษส่วนนี้ลดไม่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทั้ง p และ q เป็นเลขคี่ ลองยกกำลังสอง: 2q2=p2. ตัวเลข p เป็นเลขคี่ไม่ได้ตั้งแต่นั้นมา p2 ก็จะเป็นเช่นกัน และด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือผลคูณของ 2 ดังนั้น p จึงเป็นคู่ นั่นคือ p = 2r ดังนั้น p2= 4r2. เราลดสมการ 2q2= 4r2 โดย 2. เราได้ q2= 2r2 และเราเห็นว่า q ต้องเป็นคู่ด้วย ซึ่งเราคิดว่าไม่เป็นเช่นนั้น ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์ - สูตรนี้มักพบในหนังสือคณิตศาสตร์ทุกเล่ม หลักฐานแวดล้อมนี้เป็นกลอุบายที่นักปราชญ์นิยม
ความใหญ่โตนี้ไม่สามารถเข้าใจได้โดยชาวพีทาโกรัส ทุกอย่างจะต้องสามารถอธิบายได้ด้วยตัวเลข และเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใครๆ ก็วาดด้วยไม้เท้าบนผืนทรายนั้น ไม่มี นั่นคือความยาวที่วัดได้ “ศรัทธาของเราสูญเปล่า” ชาวพีทาโกรัสดูเหมือนจะพูด ได้อย่างไร? มันเป็น... ไม่มีเหตุผล สหภาพพยายามที่จะช่วยตัวเองด้วยวิธีการนิกาย ใครก็ตามที่กล้าเปิดเผยการมีอยู่ของพวกเขา จำนวนอตรรกยะจะต้องถูกลงโทษด้วยความตายและเห็นได้ชัดว่าประโยคแรกนั้นถูกตัดสินโดยอาจารย์เอง
แต่ "ความคิดผ่านพ้นอันตราย" ยุคทองมาถึงแล้ว ชาวกรีกเอาชนะชาวเปอร์เซีย (มาราธอน 490 บล็อค 479) ประชาธิปไตยมีความเข้มแข็ง ศูนย์ความคิดทางปรัชญาและโรงเรียนใหม่เกิดขึ้น ชาวพีทาโกรัสยังคงดิ้นรนกับจำนวนอตรรกยะ เทศนาบางอย่าง: เราจะไม่เข้าใจความลึกลับนี้ เราสามารถไตร่ตรองและประหลาดใจที่ Uncharted เท่านั้น อย่างหลังมีการปฏิบัติมากกว่าและไม่เคารพความลึกลับ ในขณะนั้น มีโครงสร้างทางจิตสองแบบปรากฏขึ้นซึ่งทำให้สามารถเข้าใจจำนวนอตรรกยะได้ ความจริงที่ว่าเราเข้าใจพวกเขาดีพอในวันนี้เป็นของ Eudoxus (ศตวรรษที่ XNUMX ก่อนคริสต์ศักราช) และเมื่อปลายศตวรรษที่ XNUMX นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Richard Dedekind ได้ให้ทฤษฎี Eudoxus ในการพัฒนาที่เหมาะสมตามข้อกำหนดของความเข้มงวด ตรรกะทางคณิตศาสตร์
มวลของร่างหรือการทรมาน
คุณจะอยู่โดยไม่มีตัวเลขได้ไหม? ต่อให้ชีวิตจะเป็นอย่างไร...เราก็ต้องไปซื้อรองเท้ากับไม้เท้าซึ่งก่อนหน้านี้เราวัดความยาวของเท้า “ฉันต้องการแอปเปิ้ล อา นี่มัน!” – เราจะแสดงผู้ขายในตลาด ไกลแค่ไหนจาก มอดลิน ไป Nowy Dwur Mazowiecki? “ใกล้แล้ว!”
ตัวเลขใช้ในการวัด ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เรายังแสดงแนวคิดอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่นมาตราส่วนของแผนที่แสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของประเทศลดลงเท่าใด มาตราส่วนสองต่อหนึ่งหรือเพียงแค่ 2 เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่าบางสิ่งมีขนาดเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า สมมติว่าในทางคณิตศาสตร์: ความสม่ำเสมอแต่ละอย่างสอดคล้องกับตัวเลข - ขนาดของมัน
งาน. เราทำสำเนาซีโรกราฟิกโดยขยายภาพหลายครั้ง จากนั้นส่วนที่ขยายใหญ่ขึ้นก็ถูกขยายอีกครั้ง b ครั้ง มาตราส่วนกำลังขยายทั่วไปคืออะไร? คำตอบ: a × b คูณ b ต้องคูณตาชั่งเหล่านี้ ตัวเลข "ลบหนึ่ง" คือ -1 ตรงกับหนึ่งความแม่นยำที่อยู่ตรงกลาง นั่นคือ หมุน 180 องศา ตัวเลขใดที่สอดคล้องกับการหมุน 90 องศา? ไม่มีจำนวนดังกล่าว มันคือ มันคือ… หรือมากกว่า มันจะเป็นเร็วๆนี้ คุณพร้อมสำหรับการทรมานทางศีลธรรมหรือไม่? ใช้ความกล้าหาญและหารากที่สองของลบหนึ่ง ฉันกำลังฟังอยู่? คุณทำอะไรไม่ได้ ไหนๆก็บอกแล้วว่าต้องกล้า ดึงมันออกมา! เฮ้ เอาล่ะ ดึง ดึง... ฉันจะช่วย... ที่นี่: -1 พอมีแล้ว มาลองใช้กัน... แน่นอน ตอนนี้เราสามารถแยกรากของจำนวนลบทั้งหมดได้ สำหรับ ตัวอย่าง .:
√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1
“โดยไม่คำนึงถึงความปวดร้าวทางใจที่เกิดขึ้น” นี่คือสิ่งที่จิโรลาโม คาร์ดาโนเขียนในปี ค.ศ. 1539 โดยพยายามเอาชนะปัญหาทางจิตที่เกี่ยวข้อง ซึ่งในไม่ช้าก็ถูกเรียกว่า ปริมาณจินตภาพ. เขามองว่าสิ่งเหล่านี้...
...งาน. แบ่ง 10 ออกเป็นสองส่วนผลที่ได้คือ 40 ฉันจำได้ว่าจากตอนที่แล้วเขาเขียนสิ่งนี้: เป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอน อย่างไรก็ตาม ลองทำดังนี้: แบ่ง 10 ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนเท่ากับ 5 คูณพวกมัน - กลายเป็น 25 จากผลลัพธ์ 25 ตอนนี้ให้ลบ 40 ถ้าคุณต้องการ คุณจะได้ -15 ทีนี้ ดูสิ: √-15 ที่บวกและลบออกจาก 5 จะได้ผลคูณของ 40 นี่คือตัวเลข 5-√-15 และ 5 + √-15 การตรวจสอบผลลัพธ์ดำเนินการโดย Cardano ดังนี้:
“ไม่ว่าความปวดใจจะตามมาอย่างไร ให้คูณ 5 + √-15 ด้วย 5-√-15 เราได้ 25 - (-15) ซึ่งเท่ากับ 25 + 15 ดังนั้น ผลิตภัณฑ์คือ 40 .... มันยากจริงๆ"
เท่าไหร่: (1 + √-1) (1-√-1)? มาคูณกัน จำไว้ว่า √-1 × √-1 = -1 ยอดเยี่ยม. ตอนนี้เป็นงานที่ยากขึ้น: จาก a + b√-1 ถึง ab√-1 เกิดอะไรขึ้น? แน่นอน เช่นนี้ (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับเรื่องนี้? ตัวอย่างเช่น ความจริงที่ว่าเราสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์ที่เรา "ไม่เคยรู้มาก่อน" สูตรคูณแบบย่อสำหรับ2-b2 คุณจำสูตรสำหรับ2+b2 มันไม่ใช่เพราะมันเป็นไปไม่ได้ ในโดเมนของจำนวนจริง พหุนาม2+b2 มันหลีกเลี่ยงไม่ได้ แทนค่ารากที่สอง "ของเรา" ของ "ลบหนึ่ง" ด้วยตัวอักษร i2= -1. เป็นจำนวนเฉพาะที่ "ไม่จริง" และนั่นคือสิ่งที่อธิบายถึงการหมุนของเครื่องบิน 90 องศา ทำไม? หลังจากนั้น,2= -1 และเมื่อรวมการหมุน 90 องศาหนึ่งครั้งเข้ากับการหมุน 180 องศาอีกครั้ง จะได้การหมุน 45 องศา กำลังอธิบายการหมุนแบบใด แน่นอนว่าต้องเลี้ยว XNUMX องศา -i หมายถึงอะไร? มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย:
(-ฉัน)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
ดังนั้น -i ยังอธิบายการหมุน 90 องศา ในทิศทางตรงกันข้ามกับการหมุนของ i อันไหนเหลือ อันไหนถูก? คุณต้องทำการนัดหมาย เราคิดว่าจำนวน i ระบุการหมุนในทิศทางที่นักคณิตศาสตร์พิจารณาว่าเป็นบวก: ทวนเข็มนาฬิกา ตัวเลข -i อธิบายการหมุนในทิศทางที่ตัวชี้กำลังเคลื่อนที่
แต่ตัวเลขอย่าง i และ -i มีอยู่จริงหรือไม่? เป็น! เราเพิ่งทำให้พวกเขามีชีวิต ฉันกำลังฟังอยู่? ที่มีอยู่ในหัวของเราเท่านั้น? แล้วจะหวังอะไร? ตัวเลขอื่น ๆ ทั้งหมดยังมีอยู่ในใจของเราเท่านั้น เราต้องดูว่าตัวเลขแรกเกิดของเราจะรอดหรือไม่ แม่นยำยิ่งขึ้นไม่ว่าการออกแบบจะสมเหตุสมผลหรือไม่และจะเป็นประโยชน์สำหรับบางสิ่งบางอย่างหรือไม่ โปรดใช้คำของฉันว่าทุกอย่างเป็นไปตามลำดับและตัวเลขใหม่เหล่านี้มีประโยชน์จริงๆ ตัวเลขอย่างเช่น 3+i, 5-7i โดยทั่วไป: a+bi เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน ฉันแสดงให้คุณเห็นว่าคุณจะเอามันมาได้อย่างไรโดยการหมุนเครื่องบิน สามารถป้อนได้หลายวิธี: เป็นจุดในระนาบ เป็นพหุนามบางตัว เป็นอาร์เรย์ตัวเลขบางประเภท ... และทุกครั้งที่มีค่าเท่ากัน: สมการ x2 +1=0 ไม่มีองค์ประกอบ... hocus pocus มีอยู่แล้ว!!!! มาสนุกกันให้สุดเหวี่ยงไปเลย!!!
สิ้นสุดทัวร์
นี่เป็นการสรุปการเดินทางครั้งแรกของเราในประเทศของตัวเลขปลอม จากตัวเลขที่น่าพิศวงอื่น ๆ ฉันจะพูดถึงตัวเลขที่มีจำนวนนับไม่ถ้วนข้างหน้าและไม่อยู่ข้างหลัง (เรียกว่า 10-adic สำหรับเรา p-adic สำคัญกว่าโดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ) สำหรับ ตัวอย่าง X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
มานับ X กันเถอะ2. เพราะ? ถ้าเราคำนวณกำลังสองของตัวเลขแล้วตามด้วยจำนวนหลักอนันต์ล่ะ เอาล่ะทำแบบเดียวกัน เรารู้ว่า x2 = X.
ลองหาตัวเลขอื่นที่มีจำนวนหลักข้างหน้าเป็นอนันต์ซึ่งตรงกับสมการกัน คำแนะนำ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสของตัวเลขที่ลงท้ายด้วยหกก็ลงท้ายด้วยหกเช่นกัน กำลังสองของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 76 จบลงด้วย 76 เช่นกัน สแควร์ของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 376 ก็ลงท้ายด้วย 376 เช่นกัน สแควร์ของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 9376 จบลงด้วย 9376 เช่นกัน สแควร์ของตัวเลขที่ลงท้ายด้วย XNUMX บน … นอกจากนี้ยังมีจำนวนที่เล็กมากจนเป็นบวกก็ยังน้อยกว่าจำนวนบวกอื่นๆ พวกมันเล็กมากจนบางครั้งก็เพียงพอที่จะยกกำลังสองเพื่อให้ได้ศูนย์ มีตัวเลขที่ไม่ตรงตามเงื่อนไข a × b = b × a นอกจากนี้ยังมีจำนวนอนันต์ มีตัวเลขธรรมชาติกี่ตัว? มากมายนับไม่ถ้วน? ใช่ แต่เท่าไหร่? สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นตัวเลขได้อย่างไร? คำตอบ: จำนวนอนันต์ที่น้อยที่สุด; มันถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรที่สวยงาม: A และเสริมด้วยดัชนีศูนย์A0 , แอล-ศูนย์
นอกจากนี้ยังมีตัวเลขที่เราไม่รู้ว่ามีอยู่จริง...หรือจะเชื่อหรือไม่เชื่อก็ได้ตามใจชอบ และพูดถึงสิ่งที่คล้ายกัน: ฉันหวังว่าคุณจะยังชอบ Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers
