สี่เหลี่ยมสีและสุริยุปราคา

บทความนี้อธิบายชั้นเรียนของฉันสำหรับนักเรียนมัธยมต้น - ผู้ถือทุนการศึกษาของ National Children's Fund มูลนิธิแสวงหาเด็กและเยาวชนที่มีพรสวรรค์เป็นพิเศษ (ตั้งแต่เกรด XNUMX ของโรงเรียนประถมจนถึงมัธยมปลาย) และเสนอ "ทุนการศึกษา" ให้กับนักเรียนที่ได้รับการคัดเลือก อย่างไรก็ตามพวกเขาไม่ได้มีส่วนร่วมในการถอนเงินสด แต่เป็นการดูแลที่ครอบคลุมสำหรับการพัฒนาความสามารถตามกฎในช่วงหลายปีที่ผ่านมา ไม่เหมือนกับโครงการอื่นๆ ประเภทนี้ นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียง บุคคลสำคัญทางวัฒนธรรม นักมนุษยนิยมที่มีชื่อเสียง และนักปราชญ์อื่นๆ ตลอดจนนักการเมืองบางคน ให้ความสำคัญกับวอร์ดของมูลนิธิอย่างจริงจัง

กิจกรรมของมูลนิธิครอบคลุมทุกสาขาวิชาที่เป็นวิชาพื้นฐานในโรงเรียน ยกเว้นกีฬา รวมถึงศิลปะ กองทุนนี้ก่อตั้งขึ้นเมื่อปี 1983 เพื่อเป็นยาแก้พิษจากความเป็นจริงในขณะนั้น ทุกคนสามารถสมัครเข้ากองทุนได้ (โดยปกติผ่านทางโรงเรียน ก่อนสิ้นปีการศึกษา) แต่แน่นอนว่ามีตะแกรงอยู่บ้าง ซึ่งเป็นขั้นตอนคุณสมบัติบางอย่าง

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว บทความนี้อิงจากชั้นเรียนปริญญาโทของฉัน โดยเฉพาะใน Gdynia ในเดือนมีนาคม 2016 ที่โรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้นที่ 24 ของโรงเรียนมัธยม III กองทัพเรือ เป็นเวลาหลายปีที่การสัมมนาเหล่านี้จัดขึ้นภายใต้การอุปถัมภ์ของมูลนิธิโดย Wojciech Thomalczyk อาจารย์ที่มีความสามารถพิเศษและระดับสติปัญญาสูง ในปี 2008 เขาเข้าสู่สิบอันดับแรกในโปแลนด์ ซึ่งได้รับรางวัลตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านการสอน (ตามที่กฎหมายกำหนดเมื่อหลายปีก่อน) มีการพูดเกินจริงเล็กน้อยในข้อความที่ว่า "การศึกษาคือแกนของโลก"

และพระจันทร์ เป็นสิ่งที่น่าหลงใหลอยู่เสมอ - จากนั้นคุณจะรู้สึกได้ว่าเราอาศัยอยู่บนดาวเคราะห์ดวงเล็กๆ ในอวกาศอันกว้างใหญ่ ที่ซึ่งทุกสิ่งเคลื่อนไหว วัดเป็นเซนติเมตรและวินาที มันทำให้ฉันกลัวเล็กน้อยรวมถึงมุมมองของเวลาด้วย เราเรียนรู้ว่าสุริยุปราคาเต็มดวงครั้งต่อไปซึ่งมองเห็นได้จากพื้นที่ของวอร์ซอว์ในวันนี้จะอยู่ใน ... 2681 ฉันสงสัยว่าใครจะเห็นมัน? ขนาดปรากฏของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์บนท้องฟ้าของเราเกือบจะเท่ากัน นั่นคือสาเหตุที่สุริยุปราคาสั้นและงดงามมาก เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้ว นาทีสั้นๆ เหล่านั้นน่าจะเพียงพอสำหรับนักดาราศาสตร์ในการมองเห็นโคโรนาสุริยะ เป็นเรื่องน่าแปลกที่พวกมันจะเกิดขึ้นปีละสองครั้ง... แต่นั่นหมายความว่าพวกมันจะพบเห็นพวกมันที่ไหนสักแห่งบนโลกในช่วงเวลาสั้นๆ เท่านั้น อันเป็นผลมาจากการเคลื่อนตัวของน้ำขึ้นน้ำลง ดวงจันทร์กำลังเคลื่อนตัวออกจากโลก - ในอีก 260 ล้านปี ดวงจันทร์จะห่างไกลมากจนเรา (เรา???) จะเห็นเพียงสุริยุปราคาวงแหวนเท่านั้น

เห็นได้ชัดว่าเป็นคนแรกที่ทำนาย คราสคือ Thales of Miletus (28-585 ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช) เราคงไม่รู้ว่ามันเกิดขึ้นจริงหรือไม่ นั่นคือ เขาทำนายหรือไม่ เพราะความจริงที่ว่าสุริยุปราคาในเอเชียไมเนอร์เกิดขึ้นเมื่อวันที่ 567 พฤษภาคม 566 ปีก่อนคริสตกาล เป็นความจริงที่ยืนยันโดยการคำนวณสมัยใหม่ แน่นอน ฉันอ้างอิงข้อมูลสำหรับบัญชีของเวลาวันนี้ เมื่อฉันยังเป็นเด็ก ฉันจินตนาการว่าผู้คนนับปีอย่างไร ตัวอย่างเช่น XNUMX BC วันส่งท้ายปีเก่ากำลังจะมาถึงและผู้คนต่างชื่นชมยินดี: เพียง XNUMX ปีก่อนคริสตกาล! พวกเขาคงจะมีความสุขสักเพียงไรเมื่อ “ยุคของเรา” มาถึงในที่สุด! ช่างเป็นการเปลี่ยนแปลงนับพันปีที่เราประสบเมื่อไม่กี่ปีก่อน!

คณิตศาสตร์ของการคำนวณวันที่และช่วง สุริยุปราคาไม่ได้ซับซ้อนเป็นพิเศษ แต่อัดแน่นไปด้วยปัจจัยต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับความสม่ำเสมอ และที่แย่กว่านั้นคือ ด้วยการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอของร่างกายในวงโคจร ฉันยังต้องการรู้คณิตศาสตร์นี้ Thales of Miletus สามารถทำการคำนวณที่จำเป็นได้อย่างไร คำตอบนั้นง่าย คุณต้องมีแผนที่ท้องฟ้า จะทำแผนที่ดังกล่าวได้อย่างไร? สิ่งนี้ก็ไม่ยากเช่นกัน ชาวอียิปต์โบราณรู้วิธีการทำ เวลาเที่ยงคืน พระสงฆ์สองคนออกมาบนหลังคาวัด แต่ละคนนั่งลงและวาดสิ่งที่เขาเห็น (เช่นเพื่อนร่วมงานของเขา) หลังจากสองพันปี เรารู้ทุกอย่างเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ...

รูปทรงสวยงาม หรือสนุกสนานกับ "พรม"

ชาวกรีกไม่ชอบตัวเลข พวกเขาใช้เรขาคณิต นี่คือสิ่งที่เราจะทำ ของเรา คราส พวกเขาจะเรียบง่ายมีสีสัน แต่ก็น่าสนใจและเป็นจริง เรายอมรับข้อตกลงที่ว่าร่างสีน้ำเงินเคลื่อนตัวในลักษณะที่บดบังตัวสีแดง เรียกคนสีน้ำเงินว่าดวงจันทร์ และคนสีแดงเรียกว่าดวงอาทิตย์ เราถามตัวเองด้วยคำถามต่อไปนี้:

1. สุริยุปราคาอยู่ได้นานแค่ไหน
2. เมื่อครอบคลุมครึ่งหนึ่งของเป้าหมาย

   ข้าว. 1 "พรม" หลากสีกับดวงอาทิตย์และดวงจันทร์

3. ความคุ้มครองสูงสุดคืออะไร
4. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวิเคราะห์การพึ่งพาของเกราะป้องกันตรงเวลา? ในบทความนี้ (ฉันถูกจำกัดด้วยจำนวนข้อความ) ฉันจะเน้นที่คำถามที่สอง เบื้องหลังนี่คือรูปทรงที่สวยงาม บางทีอาจไม่มีการคำนวณที่น่าเบื่อ ลองดูที่มะเดื่อ 1. สามารถสันนิษฐานได้ว่าเกี่ยวข้องกับ ... สุริยุปราคาหรือไม่?

ฉันต้องบอกตามตรงว่างานที่ฉันจะพูดถึงจะได้รับการคัดเลือกมาเป็นพิเศษ ปรับให้เข้ากับความรู้และทักษะของนักเรียนระดับมัธยมต้นและมัธยมปลาย แต่เราฝึกฝนในงานต่างๆ เช่น นักดนตรีเล่นสเกล และนักกีฬาทำแบบฝึกหัดการพัฒนาทั่วไป อีกอย่าง มันไม่ใช่แค่พรมสวยๆ (รูปที่ 1) หรอกเหรอ?

ข้าว. 2 "ดวงจันทร์สีน้ำเงิน" และ "ดวงอาทิตย์สีแดง"

เทห์ฟากฟ้าของเรา อย่างน้อยในตอนแรก จะเป็นสี่เหลี่ยมสี ดวงจันทร์เป็นสีน้ำเงิน ดวงอาทิตย์เป็นสีแดง (เหมาะที่สุดสำหรับระบายสี) กับปัจจุบัน คราส ดวงจันทร์ไล่ดวงอาทิตย์ข้ามฟากฟ้าทัน ... และปิดมัน มันก็จะเหมือนกันกับเรา กรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อดวงจันทร์เคลื่อนตัวสัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ ดังแสดงในรูปที่ 2. สุริยุปราคาเริ่มต้นเมื่อขอบจานของดวงจันทร์แตะขอบจานของดวงอาทิตย์ (รูปที่ 2) และสิ้นสุดเมื่ออยู่เหนือขอบจาน

ข้าว. 3 ดวงจันทร์เข้าใกล้ดวงอาทิตย์ในแนวทแยง

เราคิดว่า "ดวงจันทร์" เคลื่อนที่หนึ่งเซลล์ต่อหน่วยเวลา เช่น ต่อนาที สุริยุปราคานั้นกินเวลาแปดหน่วยนาที ครึ่ง สุริยุปราคา หรี่ลงจนหมด หน้าปัดครึ่งหนึ่งปิดสองครั้ง: หลังจาก 2 และ 6 นาที กราฟเปอร์เซ็นต์การบดบังนั้นง่าย ในช่วงสองนาทีแรก เกราะปิดเท่าๆ กันในอัตราศูนย์ถึง 1 และอีกสองนาทีถัดไปจะถูกเปิดออกในอัตราเดียวกัน

นี่คือตัวอย่างที่น่าสนใจกว่า (รูปที่ 3) ดวงจันทร์เข้าใกล้ดวงอาทิตย์ในแนวทแยงมุม ตามข้อตกลงการชำระเงินต่อนาทีของเรา คราสจะมีอายุ 8√2 นาที - ในช่วงเวลานี้เรามีสุริยุปราคาเต็มดวง ลองคำนวณว่าส่วนใดของดวงอาทิตย์ถูกปกคลุมหลังจากเวลา t (รูปที่ 3) หากเวลาผ่านไป t นาทีตั้งแต่เริ่มเกิดคราส และเป็นผลให้ดวงจันทร์เป็นดังที่แสดงในรูป 5 จากนั้น (โปรดทราบ!) ดังนั้นจึงครอบคลุม (พื้นที่ของตาราง APQR) เท่ากับครึ่งหนึ่งของดิสก์สุริยะ ดังนั้นจึงครอบคลุมเมื่อเช่น หลังจาก 4 นาที (จากนั้น 4 นาทีก่อนสิ้นสุดคราส)

ข้าว. 4 กราฟของฟังก์ชัน "การแรเงา"

จำนวนทั้งหมด กินเวลาครู่หนึ่ง (t = 4√2) และกราฟของฟังก์ชัน "ส่วนที่แรเงา" ประกอบด้วยส่วนโค้งของพาราโบลาสองส่วน (รูปที่ 4)

ดวงจันทร์สีน้ำเงินของเราจะแตะมุมด้วยดวงอาทิตย์สีแดง แต่ดวงอาทิตย์จะบดบัง ไม่เอียง แต่ในแนวทแยงเล็กน้อย เรขาคณิตที่น่าสนใจปรากฏขึ้นเมื่อเราทำให้การเคลื่อนไหวซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย (รูปที่ 6) ทิศทางของการเคลื่อนที่ตอนนี้เป็นเวกเตอร์ [4,3] นั่นคือ "สี่เซลล์ทางขวา สามเซลล์ขึ้นไป" ตำแหน่งของดวงอาทิตย์เป็นลักษณะที่สุริยุปราคาเริ่มต้น (ตำแหน่ง A) เมื่อด้านข้างของ "วัตถุท้องฟ้า" มาบรรจบกันถึงหนึ่งในสี่ของความยาว เมื่อดวงจันทร์เคลื่อนไปที่ตำแหน่ง B มันจะบดบังหนึ่งในหกของดวงอาทิตย์ และในตำแหน่ง C ดวงจันทร์จะบดบังครึ่งหนึ่ง ในตำแหน่ง D เรามีสุริยุปราคาเต็มดวง แล้วทุกอย่างจะกลับไป "เหมือนเดิม"

ข้าว. 5 ส่วนหนึ่งของดวงอาทิตย์ที่ซ่อนอยู่ในช่วงเวลา t

สุริยุปราคาจะสิ้นสุดลงเมื่อดวงจันทร์อยู่ในตำแหน่ง G และคงอยู่ได้นานเท่า ความยาวส่วนAG. หากเหมือนเมื่อก่อน เราใช้เวลาเป็นหน่วยของเวลาที่ดวงจันทร์เคลื่อนผ่าน "หนึ่งสี่เหลี่ยม" แสดงว่าความยาวของ AG จะเท่ากัน หากเราย้อนกลับไปที่การประชุมแบบเก่าที่ว่าเทห์ฟากฟ้าของเรามีขนาด 4 คูณ 4 ผลลัพธ์ก็จะแตกต่างออกไป (อะไรนะ) เนื่องจากง่ายต่อการแสดง เป้าหมายจะปิดหลังจาก t < 15 กราฟของฟังก์ชัน "เปอร์เซ็นต์การครอบคลุมหน้าจอ" สามารถดูได้ในรูป 6.

ข้าว. 6 กราฟของฟังก์ชัน "เปอร์เซ็นต์การป้องกัน"

สมการสุริยุปราคาและกระโดด

ข้าว. 7 สิ่งกีดขวางของจานสุริยะระหว่างสุริยุปราคาดังแสดงในรูป 6

ปัญหาของสุริยุปราคาจะไม่สมบูรณ์หากเราไม่พิจารณากรณีของวงกลม สิ่งนี้ซับซ้อนกว่ามาก แต่ลองคิดดูว่าเมื่อใดที่วงกลมหนึ่งบดบังครึ่งหนึ่งของอีกวงหนึ่ง - และในกรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อหนึ่งในนั้นเคลื่อนที่ไปตามเส้นผ่านศูนย์กลางที่เชื่อมต่อทั้งสอง ผู้ถือบัตรเครดิตคุ้นเคยกับภาพวาด

การคำนวณตำแหน่งของเขตข้อมูลนั้นซับซ้อน เนื่องจากในประการแรก จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับสูตรสำหรับพื้นที่ของส่วนที่เป็นวงกลม ประการที่สอง ความรู้เกี่ยวกับส่วนโค้งของมุม และประการที่สาม (และที่แย่ที่สุด) ความสามารถ เพื่อแก้สมการกระโดด ฉันจะไม่อธิบายว่า "สมการสกรรมกริยา" คืออะไร มาดูตัวอย่างกัน (รูปที่ 8)

ข้าว. 8 "สุริยุปราคาทรงกลม"

ส่วนที่เป็นวงกลมคือ "ชาม" ที่ยังคงอยู่หลังจากตัดวงกลมเป็นเส้นตรง พื้นที่ของเซ็กเมนต์ดังกล่าวคือ S = 1/2r²(φ-sinφ) โดยที่ r คือรัศมีของวงกลม และ φ คือมุมศูนย์กลางที่ส่วนวางอยู่ (รูปที่ 8) หาได้ง่ายโดยการลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมออกจากพื้นที่ของเซกเตอร์วงกลม

ตอนที่ O₁O₂ (ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม) เท่ากับ 2rcosφ/2 และความสูง (ความกว้าง “รอบเอว”) h = 2rsinφ/2 ดังนั้น หากเราต้องการคำนวณว่าดวงจันทร์จะปกคลุมครึ่งหนึ่งของจานสุริยะเมื่อใด เราต้องแก้สมการ ซึ่งหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายกลายเป็น:

ข้าว. 9 กราฟของสองฟังก์ชัน

คำตอบของสมการดังกล่าวมีมากกว่าพีชคณิตธรรมดา - สมการมีทั้งมุมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมการนี้อยู่นอกเหนือวิธีการแบบเดิม จึงเรียกว่า ที่จะข้ามไป. มาดูกราฟของฟังก์ชันทั้งสองกันก่อน เช่น ฟังก์ชันและฟังก์ชัน เราสามารถอ่านคำตอบโดยประมาณได้จากรูปนี้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถหาค่าประมาณซ้ำได้ หรือ… ใช้ตัวเลือก Solver ในสเปรดชีต Excel นักเรียนมัธยมปลายทุกคนควรทำสิ่งนี้ได้ เพราะมันคือศตวรรษที่ 20 ฉันใช้เครื่องมือ Mathematica ที่ซับซ้อนกว่านี้ และนี่คือวิธีแก้ปัญหาของเราด้วยตำแหน่งทศนิยม XNUMX ตำแหน่งที่มีความแม่นยำโดยไม่จำเป็น:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

ข้าว. 10 แอนิเมชั่นของคราสใน matematica

เราแปลงเป็นองศาโดยการคูณด้วย 180/π เราได้ 132 องศา 20 นาที 45 และหนึ่งในสี่ของอาร์ควินาที เราคำนวณว่าระยะทางถึงจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ O₁O₂ = 0,808 รัศมี และ "เอว" 2,310.