การเลือกตั้งและคณิตศาสตร์ หรือ การแบ่งแยกและพิชิต
ปัญหาของการเลือกอยู่ตรงหน้าเราเสมอ มนุษย์ดึกดำบรรพ์ต้องเผชิญกับภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก: จะมีชีวิตอยู่ในแง่ไหน? ในทางกลับกัน การเลือกตั้งผู้นำเผ่านั้นง่ายกว่า: คนที่ฆ่าคู่แข่งปกครอง วันนี้ยากขึ้น ก็ยังดี
ประโยคภาษาละตินที่ใช้ในชื่อบทความมีความหมายว่า "แบ่งแยกและพิชิต" มันถูกนำมาใช้เสมอ ทำให้เกิดการทะเลาะวิวาทกันในชาติและจะชนะได้ง่ายขึ้น ผู้พิชิตชาวสเปนในศตวรรษที่ 1990 และ XNUMX เปลี่ยนเผ่าอินเดียนบางเผ่าให้ต่อต้านเผ่าอื่นอย่างชำนาญ ในตอนท้ายของศตวรรษที่ XNUMX Repnin เอกอัครราชทูตรัสเซียประสบความสำเร็จอย่างมาก: เขาสามารถสร้างความไม่สงบในปีสุดท้ายของโปแลนด์ที่เป็นอิสระ ชาวอังกฤษในอดีตอาณาจักรของพวกเขาก็เช่นกัน และสงครามยูโกสลาเวียในปี XNUMX เริ่มต้นขึ้นโดยชาวเซิร์บต่อสู้กับชาวโครแอตและในทางกลับกัน
เราทราบตัวอย่างการยุยงให้เกิดความขัดแย้งภายในประเทศเดียว โชคดีที่ไม่เป็นเช่นนั้นในโปแลนด์ในปัจจุบัน พรรครัฐบาลเป็นตัวอย่างของความนุ่มนวล ความยับยั้งชั่งใจ และสามัญสำนึก ที่เต็มไปด้วยความเคารพต่อฝ่ายค้าน เคารพกฎหมาย รัฐธรรมนูญ และเจตจำนงของคนธรรมดา ที่ฟอรัมระหว่างประเทศ เราชนะ มักจะเป็นศูนย์ (ชัยชนะที่น่าจดจำ 27:0) ในด้านกีฬา เราทำได้ดี เราจำการแข่งขันฮ็อกกี้สุดดราม่ากับแคเมอรูนได้ ไม่มีเรื่องอื้อฉาวนักการเมืองมีความชัดเจน พวกเขามีกระเป๋าของตัวเองอยู่ในหัวที่ไหน! ฝ่ายนั้นเป็นผู้นำ เราจะช่วย!
หยุด หยุด เราไม่ใช่นิตยสารนักข่าว เรามาดูกันว่าคุณจะโค้งงอกระบวนการตัดสินใจในความยิ่งใหญ่ของคณิตศาสตร์และ ... ตรรกะได้อย่างไร คำอธิบายแบบเต็มจะเป็นงานที่ยิ่งใหญ่และเป็นนักข่าวมากกว่าทางวิทยาศาสตร์
ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้
ประการแรก การจัดการการแบ่งแยกประเทศออกเป็นเขต
ประการที่สอง การเลือกวิธีการแปลงคะแนนเสียงเป็นที่นั่งรัฐสภาหรือ (เช่น ในกรณีของการเลือกตั้งประธานาธิบดี) เป็นที่นั่งเลือกตั้ง
ประการที่สาม: การตีความเมื่อเสียงมีความสำคัญและเมื่อไม่สำคัญ
ฉันไม่ได้พูดถึงการละเมิดอย่างชัดแจ้งในที่นี้ เช่น การบิดเบือนความไม่รู้ของผู้มีสิทธิเลือกตั้ง (สำหรับสาธารณรัฐประชาชนโปแลนด์ การลงคะแนนที่ว่างเปล่าหมายถึงการลงคะแนนสำหรับผู้สมัครที่มีรายชื่ออยู่ด้านบนสุดของรายการ) การฉ้อโกงในการนับคะแนนและการส่งข้อมูลข้างต้น
ฉันจะเริ่ม คำแปลก ๆ นี้คืออะไร? ฉันอธิบายในลักษณะวงเวียนเล็กน้อย
ผู้อ่านของคุณคงทราบคะแนนในการเล่นเทนนิส เราได้คะแนน เกม และเซ็ต ในการชนะเกมนี้ คุณต้องชนะอย่างน้อยสี่ลูก (แต้ม) แต่มากกว่าคู่ต่อสู้ของคุณอย่างน้อยสองลูก ข้อยกเว้นคือเกมไทเบรก - เล่นได้ถึงเจ็ดคะแนนที่ชนะ (ลูกบอล) รวมถึงกฎการได้เปรียบสองลูก ลูกบอลที่ชนะจะมีหมายเลขแปลกๆ: 15, 30, 40 จากนั้นเราจะใช้เฉพาะคำว่า "ได้เปรียบ – สมดุล"
1. ซ้าย gerrymandering คลาสสิก ความสมดุลของโลกกลายเป็นชัยชนะของสีน้ำเงิน ถูกต้อง: ในแต่ละเขตของเขตทางเหนือบลูส์ได้รับการสนับสนุนเพียง 25% ส่วนที่เหลือยังคงอยู่ - แต่พวกเขาก็ไม่รังเกียจ
อัญมณีถูกรวบรวมเป็นชุด ในการชนะหนึ่งเซ็ต คุณต้องมีอย่างน้อยหกเกมและมากกว่าคู่ต่อสู้ของคุณอย่างน้อยสองเกม เมื่อคะแนนเป็น 6:6 มักจะเล่นไทเบรก การแข่งขันจะเล่นโดยชนะสองหรือสามเซ็ต "ชนะสองเซ็ต" หมายความว่าใครที่ชนะสองเซ็ตจะเป็นผู้ชนะ ดังนั้น ผลลัพธ์อาจเป็น 2:0 หรือ 2:1 (และสมมาตร 0:2, 1:2) กฎเหล่านี้หมายความว่าคุณไม่จำเป็นต้องชนะลูกบอล (คะแนน) มากขึ้นเพื่อชนะเกม พูดง่ายๆ คุณต้องชนะสิ่งที่สำคัญกว่า ตัวอย่างที่รุนแรงคือ ผู้เล่น A ชนะเซ็ตแรก 6-0 และอีกสองคนแพ้ 4-6 แพ้ทั้งๆ ที่ชนะ 14 เกม และคู่แข่ง 12 เกม
ฉันจะอ้างถึงสิ่งที่ฉันเขียนเมื่อสักครู่นี้ เทนนิสมีช่วงเวลาที่สำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ นักเทนนิสที่ดีจะโฟกัสที่สิ่งที่สำคัญที่สุด
ชะตากรรมของคนนับล้านในอุ้งเท้าของซาลาแมนเดอร์
มาต่อกันที่การเลือกตั้งทางการเมือง โดยทั่วไปสำหรับการเลือกตั้งที่ตัดสินโดยคนนับพันหรือหลายล้านคน
คุณต้องมีประเทศสำหรับเขตเลือกตั้งก่อน เพราะ? ไม่เป็นไรยังไง? ไม่นะ! คนแรกที่คิดหาวิธีทำเช่นนี้เพื่อเพิ่มโอกาสให้พรรคการเมืองของเขาเองคือ Elbridge Jerry นักการเมืองชาวอเมริกันเมื่อสองร้อยปีก่อน วงกลมหนึ่งที่เขาเสนอคือรูปร่างของ ... ซาลาแมนเดอร์ และการรวมชื่อของเขากับสัตว์ครึ่งบกครึ่งน้ำหางนี้นำไปสู่คำศัพท์ ใช้งานได้ดีกับเขตที่มีสมาชิกคนเดียว ดังนั้นจึงใช้ไม่ได้กับโปแลนด์โดยตรง ด้วยสำนักงานที่มีสมาชิกหลายคน สถานการณ์จึงค่อนข้างแตกต่าง คุณสามารถถูกเผาเป็นครั้งคราว และเรื่องก็น่าสนใจ
2. เจ้าแห่งการฉ้อโกง ซ้าย: 40% ของการสนับสนุนทั่วโลกกลายเป็นชัยชนะ 4-2 ขวา: เรขาคณิตทำหน้าที่ได้อย่างยอดเยี่ยมในการเปลี่ยนการสนับสนุน 32% ให้เป็นชัยชนะระดับโลก 4:3
ลองนึกภาพประเทศที่มีประชากรหนาแน่นและมีพรมแดนที่สม่ำเสมอ: จัตุรัสที่สมบูรณ์แบบที่มีเมืองทุ่งเล็ก ๆ อยู่ข้างใน เมืองและการเลือกตั้งนายกเทศมนตรีเป็นการเปรียบเทียบที่ดีที่สุด แต่ในทางคณิตศาสตร์นั้นไม่สำคัญ ฝ่ายปกครองที่เป็นสีน้ำเงินได้รับการสนับสนุนในภาคส่วนที่มีเครื่องหมายเป็นสีน้ำเงิน รูปที่. 1. สีเขียวนำไปสู่สี่เหลี่ยมสีเขียว เนื่องจากเรากำลังพูดถึงเขตที่มีสมาชิกเพียงคนเดียว จึงไม่คำนึงว่าข้อดีคืออะไร เราเชื่อมต่อกันในระดับประเทศ สี่เหลี่ยมสีน้ำเงินมากเท่ากับสี่เหลี่ยมสีเขียว แต่บลูส์ปกครองและแบ่งประเทศออกเป็นภูมิภาค มีแปดเขตเลือกตั้ง (1). ผลโหวตเป็นอย่างไร? ไม่คาดคิด! ผู้เล่นสีน้ำเงินชนะใน A, C, E, F, G นั่นคือในห้าจากแปดวง ในกรณีของเขตเลือกตั้งที่เป็นสมาชิกคนเดียว พวกเขามีข้อได้เปรียบ 5:3 ทั่วประเทศ (อาจเป็นเมืองถ้าเป็นการเลือกตั้งนายกเทศมนตรี)
ภูมิศาสตร์การเลือกตั้ง สิ่งนี้มีข้อได้เปรียบที่สำคัญสำหรับงานปาร์ตี้ที่เรื่องอื้อฉาวเป็นเรื่องปกติ ลองนึกดูว่าเรื่องอื้อฉาวปะทุขึ้นในเขตเลือกตั้ง B นายกเทศมนตรียักยอกเงินงบประมาณและบอกว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี ผู้มีสิทธิเลือกตั้งหลายคนหันหลังให้กับเขา หากก่อนหน้านี้คะแนนเสียงกระจายเกือบเท่าๆ กัน (51:49 เข้าข้างพรรคใดพรรคหนึ่ง) ตอนนี้ในเขต B ในแต่ละเขตเล็กๆ สีเขียวได้รับ 75% และสีน้ำเงินเพียง 25% อย่างไรก็ตาม ในระดับประเทศ สิ่งนี้ไม่ได้ เจ็บเลย (1 ตาราง). เพื่อใช้เปรียบเทียบเทนนิส พวกเขาเสียแค่จุดว่างเท่านั้น
| เขตเลือกตั้ง | สีน้ำเงินเข้ม | ผักใบเขียว | ใครเป็นผู้ชนะ |
| A | 251 | 249 | สีน้ำเงินเข้ม |
| B | 100 | 300 | ผักใบเขียว |
| C | 251 | 249 | สีน้ำเงินเข้ม |
| D | 198 | 202 | ผักใบเขียว |
| E | 251 | 249 | สีน้ำเงินเข้ม |
| F | 251 | 249 | สีน้ำเงินเข้ม |
| G | 251 | 249 | สีน้ำเงินเข้ม |
| H | 149 | 151 | ผักใบเขียว |
| คะแนนโหวตทั้งหมด | 1702 | 1898 | 5 ถึง 3 สำหรับ สีน้ำเงิน |
ตารางที่ 1 จำนวนโหวต 1898: 1702 เห็นด้วยกับกรีน แต่ 5: 3 ที่นั่งในรัฐสภาเพื่อสีน้ำเงิน! ในการเลือกตั้งประธานาธิบดีสหรัฐฯ ผู้ชนะจะได้รับคะแนนเสียงน้อยลง
ระบบเดียวมีข้อดีและข้อเสีย มันมาจากประเพณีรัฐสภาอังกฤษ มีการเสนอสูตรทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายเพื่อลดหลักการของ "ผู้ชนะรับทั้งหมด" เล็กน้อย กฎที่พบบ่อยที่สุดคือ "เศษส่วนที่ใหญ่ที่สุด" สมมติว่าสี่ฝ่าย A, B, C และ D แข่งขันกันในภูมิภาค Grodzisko Nadmorsky มีเจ็ดแห่งที่จะชนะ ในการเลือกตั้ง ฝ่ายเหล่านี้ได้รับ 9934 5765, 4031 1999, 21 729 และ XNUMX XNUMX ตามลำดับ รวม XNUMX XNUMX. เราคาดว่า:
7∙9934/21729= 3,20
7∙5765/21729= 1,86
7∙4031/21729= 1,30
7∙1999/21729= 0,64
ชัดเจน; ถ้าเครือจักรภพเป็นผ้าสีแดงตามที่เจ้าชาย Radziwiłł กล่าวใน The Flood ฝ่ายต่างๆ จะฉีกมันเป็นชิ้นๆ ในสัดส่วน 320:186:130:64 แต่มีเพียงเจ็ดแห่งที่จะแบ่งปัน ล็อต A สมควรได้สามตำแหน่ง (เพราะผลหารมากกว่า 3) ล็อต B, C สมควรได้ตำแหน่งละหนึ่งตำแหน่ง ฉันจะเลือกอีกสองคนได้อย่างไร มีการเสนอวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้: มอบให้กับฝ่ายที่ "ขาดคะแนนเสียงเต็มน้อยที่สุด" นั่นคือผู้ที่มีเศษส่วนที่ใหญ่ที่สุด ดังนั้นจึงตกอยู่ในส่วน B, D ลองแสดงผลลัพธ์ในกราฟที่ชัดเจน รูปที่. 3.
รูปที่ 3 วิธีการของ "ส่วนที่ยิ่งใหญ่ที่สุด" กองกำลังผสม B + C + D เอาชนะพรรค A
จะเรียกว่าอะไร. กฎของ d'Hondt? ฉันพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมเล็กน้อย ฉันแนะนำว่าเป็นการออกกำลังกาย ผลลัพธ์เมื่อ รูปที่. 4.
รูปที่ 4 ผลลัพธ์ของวิธี d'Hondt กฎของพรรค A ด้วยตัวเอง
สำหรับแบบฝึกหัดง่ายๆ ต่อไป ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านทำสิ่งนี้: ลองนึกภาพว่าฝ่าย B, C และ D เห็นด้วยและไปที่การเลือกตั้งในกลุ่มเดียว—เรียกว่า E จากนั้นตามกฎของ d'Hondt แนะนำ พวกเขาถอดหนึ่ง ฝ่าย A มีอำนาจหน้าที่ กล่าวคือ ผลลัพธ์ของ A:E คือ 3:4 ข้อสรุปเป็นที่รู้กันมาหลายปีว่าเป็นสุภาษิต: ความยินยอมสร้าง ความขัดแย้งทำลาย
โชคดีที่ตัวอย่างที่ฉันให้ที่นี่เป็นเรื่องสมมติและความคล้ายคลึงกับประเทศที่รู้จักนั้นเป็นเรื่องบังเอิญล้วนๆ
D'Ond
วิธีการ d'Hondt ที่กล่าวถึงทำงานอย่างไร ตัวอย่างเหมาะที่สุดสำหรับสิ่งนี้ สมมติว่าเขตเลือกตั้งใดลงคะแนนเสียงในการเลือกตั้งสังฆราชดังที่แสดง 2 ตาราง.
| ชื่อปาร์ตี้ | วอยซ์, เอ็น. | ไม่มี / 2 | ไม่มี / 3 | ไม่มี / 4 | ไม่มี / 5 |
| พรรคความเจริญรุ่งเรืองเต็มที่ | 10 000 | 5000 | 3333 | 2500 | 2000 |
| ปาร์ตี้แห่งความอุดมสมบูรณ์ | 6600 | 3300 | 2200 | 1650 | 1320 |
| หัวรถจักรแห่งความก้าวหน้า | 4800 | 2400 | 1600 | 1200 | 960 |
| นักต้มตุ๋นและนักต้มตุ๋น | 3600 | 1800 | 1200 | 900 | 720 |
ตารางที่ 2 ผลการลงคะแนนเสียงในเขตเลือกตั้ง Klapucko Male ในการเลือกตั้งใน Klapadocsy
ปรากฎว่าปาร์ตี้นักต้มตุ๋นและนักต้มตุ๋นประสบความสำเร็จใน Klaputsky Maly เท่านั้น ทั่วโลกพวกเขาไม่ได้คะแนน 5% ดังนั้นจึงไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของพวกเขา เราจัดส่วนที่เหลือโดยไม่ลืมว่ามาจากฝ่ายใด:
10 (PTD), 000 (SO), 6600 (PTD), 5000 (LP), 4800 (PTD), 3333 (SO), 3300 (PTD), 2500 (LP), 2400 (SO) เป็นต้น เรากำหนดตั๋ว ในลำดับที่กำหนด ผลลัพธ์ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับจำนวนตั๋วที่มี
| 3 แห่ง | PTD 2, SO 1, LP 0 |
| 4 แห่ง | PTD 2, SO 1, LP 1 |
| 5 ที่นั่ง | PTD 3, SO 1, LP 1 |
| 6 ที่นั่ง | PTD 3, SO 2, LP 1 |
| 7 ที่นั่ง | PTD 4, SO 2, LP 1 |
| 8 ที่นั่ง | PTD 4, SO 2, LP 2 |
| 9 ที่นั่ง | PTD 4, SO 3, LP 2 |
ตารางที่ 3 การแบ่งที่นั่งขึ้นอยู่กับจำนวนที่นั่ง
ว่ากันว่าระบบดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์ราบรื่นขึ้น - ลดการครอบงำที่เป็นไปได้ของฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ซับซ้อนกว่า ทุกอย่างขึ้นอยู่กับข้อมูลเฉพาะ ฉันไม่มีที่ว่างสำหรับการอภิปรายอีกต่อไป ฉันจะสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเพียงสองข้อเท่านั้น:
1. หากผู้หลอกลวงและผู้ฉ้อฉลมาถึงเกณฑ์การเลือกตั้งระดับประเทศแล้ว ผลลัพธ์อาจแตกต่างกันไป พวกเขาจะไม่เปลี่ยนหากมีที่นั่งให้ชนะสามหรือสี่ที่นั่ง แต่ถ้ามีคนจากเขตเลือกตั้งห้าคนเข้ามาในรัฐสภา ผลลัพธ์จะเป็น: PTD 2, SO 1, PL 1, JG 1 พรรค PTD จะสูญเสียสิทธิ์เด็ดขาด . ส่วนใหญ่. วิธีนี้ใช้ได้ผลตรงกันข้าม: หากฝ่ายเล็กๆ แตกออกจากปาร์ตี้ ทุกคนจะแพ้ รวมถึงผู้ที่ไม่เห็นด้วย
2. ถ้า SO และ LP เข้ากันได้และไปลงคะแนนด้วยกัน พวกเขาก็จะไม่เลวร้ายไปกว่านี้ในทุกสถานการณ์ แต่มักจะดีกว่า
ให้เราดูด้วยว่าวิธี d'Hondt จัดการกับสถานการณ์อย่างไรด้วย รูปที่. 2เมื่อมีที่นั่งว่างสองหรือสามที่นั่งในวอร์ด ผมขอเตือนคุณว่าในกรณีของเขตที่มีสมาชิกคนเดียว สิ่งนี้ให้ชัยชนะอย่างแข็งแกร่งแก่บลูส์ ในกรณีของประเภทคู่มีความพ่ายแพ้ทั้งหมด แต่ในกรณีของสามเท่าเขาชนะอีกครั้ง
| เขตเลือกตั้ง | สีน้ำเงินเข้ม | ผักใบเขียว | วิธีการ d'Hondt |
| A | 251 | 249 | อัตราทดเกียร์: 251/249; ตาราง 1-1 |
| B | 100 | 300 | 300/100; 0-2 |
| C | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198; 1-1 |
| E | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149; 1-1 |
| คะแนนโหวตทั้งหมด | 1702 | 1898 | น้ำเงิน 7 - เขียว 9 |
ตารางที่ 4. สถานการณ์ที่มีรูปที่ 2 แต่มีสมาชิกแบบสองสมาชิก ความล้มเหลวของสีน้ำเงิน 7:9
| เขตเลือกตั้ง | สีน้ำเงินเข้ม | ผักใบเขียว | วิธีการ d'Hondt |
| A | 251 | 249 | อัตราทดเกียร์: 251/249/125,5; กราฟ 2-1 |
| B | 100 | 300 | 300/150/100; 0,5-2,5 |
| C | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198/101; 1-2 |
| E | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149/75,5; 1-2 |
| คะแนนโหวตทั้งหมด | 1702 | 1898 | น้ำเงิน 12,5 - เขียว 11,5 |
ตารางที่ 5. สถานการณ์ที่มีรูปที่ 2 แต่มีการเลือกตั้งแบบสามสมาชิก
ในบรรดาคุณสมบัติบางอย่าง ฉันรวม "เรขาคณิต" ในการโหวตที่มีคุณสมบัติเหมาะสมว่าสำคัญหรือไม่สำคัญ ในหลายประเทศ สัญญาณของการอนุมัติคือ "ขีด" นั่นคือ a v และบางครั้ง Y เรามีเครื่องหมาย x ซึ่งเกี่ยวข้องกับการขีดฆ่ามากกว่า (และดังนั้นจึงเป็นการปฏิเสธ) สมาชิกสภานิติบัญญัติต้องการชี้แจงสิ่งนี้และให้คำจำกัดความกึ่งคณิตศาสตร์ - "เส้นสองเส้นตัดกัน" โดยตีความว่าสองบรรทัดของตัวอักษร v ไม่ตัดกัน
ประการแรก ในทางคณิตศาสตร์ "การตัดกัน" หมายถึง "มีจุดร่วม" - สิ่งนี้ควรเกี่ยวข้องเป็นพิเศษกับคนหนุ่มสาว (อายุต่ำกว่า XNUMX ปี) เพราะนั่นคือสิ่งที่โรงเรียนเป็นอยู่ตอนนี้ อย่างไรก็ตาม หากใครไม่เชื่อในวิชาคณิตศาสตร์ เขาอาจจำได้ว่าจุดกลับรถบนถนนก็เป็นทางแยกเช่นกัน
เป็นการดีกว่าที่จะให้คำจำกัดความที่ไม่ถูกต้อง: สัญญาณใด ๆ ที่บ่งชี้อย่างชัดเจนถึงการเลือกตั้งผู้สมัครรับตำแหน่งที่ครั้งหนึ่งเคยเป็นกิตติมศักดิ์ แต่ตอนนี้มีเพียงสมาคมที่ดูถูกเท่านั้น
