เลม, โทคาชุก, คราคูฟ, คณิตศาสตร์

ในวันที่ 3-7 กันยายน 2019 การประชุมครบรอบปีของสมาคมคณิตศาสตร์โปแลนด์จัดขึ้นที่เมืองคราคูฟ วันครบรอบเพราะครบรอบหนึ่งร้อยปีของการก่อตั้งสมาคม มันมีอยู่ในแคว้นกาลิเซียตั้งแต่ปีที่ 1 (โดยไม่มีคำคุณศัพท์ว่าลัทธิเสรีนิยมโปแลนด์ของจักรพรรดิ FJ1919 มีขีดจำกัด) แต่ในฐานะองค์กรทั่วประเทศนั้นดำเนินการตั้งแต่ปี 1919 เท่านั้น ความก้าวหน้าที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ของโปแลนด์ย้อนกลับไปในทศวรรษที่ 1939-XNUMX ปี XNUMX XNUMX ที่ Jan Casimir University ใน Lviv แต่การประชุมไม่สามารถจัดขึ้นที่นั่นได้ และนั่นไม่ใช่ความคิดที่ดีที่สุดเช่นกัน

การประชุมเป็นไปอย่างรื่นเริง เต็มไปด้วยกิจกรรมประกอบ (รวมถึงการแสดงของ Jacek Wojcicki ที่ปราสาทใน Niepolomice) บรรยายหลักโดยวิทยากร 28 ท่าน พวกเขาอยู่ในโปแลนด์เพราะแขกรับเชิญเป็นชาวโปแลนด์ - ไม่จำเป็นในแง่ของการเป็นพลเมือง แต่ยอมรับว่าตนเองเป็นชาวโปแลนด์ ใช่ อาจารย์เพียงสิบสามคนมาจากสถาบันวิทยาศาสตร์ของโปแลนด์ สิบห้าคนที่เหลือมาจากสหรัฐอเมริกา (7) ฝรั่งเศส (4) อังกฤษ (2) เยอรมนี (1) และแคนาดา (1) นี่เป็นปรากฏการณ์ที่รู้จักกันดีในลีกฟุตบอล

ที่ดีที่สุดอย่างต่อเนื่องในต่างประเทศ มันเศร้าเล็กน้อย แต่อิสรภาพคืออิสรภาพ นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์หลายคนทำให้อาชีพในต่างประเทศไม่สามารถทำได้ในโปแลนด์ เงินมีบทบาทรองที่นี่ แต่ฉันไม่ต้องการเขียนในหัวข้อดังกล่าว อาจจะแค่สองความคิดเห็น

ในรัสเซียและก่อนหน้านั้นในสหภาพโซเวียต นี่คือและอยู่ในระดับที่มีสติที่สุด ... และไม่มีใครอยากอพยพไปที่นั่น ในทางกลับกัน ในเยอรมนี มีผู้สมัครประมาณสิบคนสมัครเป็นศาสตราจารย์ในมหาวิทยาลัยทุกแห่ง (เพื่อนร่วมงานจากมหาวิทยาลัย Konstanz กล่าวว่ามีผู้สมัคร 120 คนในหนึ่งปี โดย 50 รายนั้นดีมาก และ 20 รายนั้นยอดเยี่ยมมาก)

การบรรยายของ Jubilee Congress บางส่วนสามารถสรุปได้ในวารสารรายเดือนของเรา หัวเรื่องเช่น "ขีดจำกัดของกราฟกระจัดกระจายและการใช้งาน" หรือ "โครงสร้างเชิงเส้นและเรขาคณิตของซับสเปซและแฟคเตอร์สเปซสำหรับสเปซที่มีมิติสูง" จะไม่บอกอะไรแก่ผู้อ่านโดยเฉลี่ย เพื่อนของฉันแนะนำหัวข้อที่สองจากหลักสูตรแรก นิโคล ต้อมจักร.

ไม่กี่ปีที่ผ่านมา เธอได้รับการเสนอชื่อเข้าชิงความสำเร็จที่นำเสนอในการบรรยายครั้งนี้ เหรียญสนาม เทียบเท่ากับนักคณิตศาสตร์ จนถึงตอนนี้มีผู้หญิงเพียงคนเดียวเท่านั้นที่ได้รับรางวัลนี้ นอกจากนี้ที่น่าสังเกตคือการบรรยาย อันนา มาร์ซินยัค-โชห์เรา (มหาวิทยาลัยไฮเดลเบิร์ก) "บทบาทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงกลไกในการแพทย์ต่อตัวอย่างแบบจำลองมะเร็งเม็ดเลือดขาว".

ป้อนยา ที่มหาวิทยาลัยวอร์ซอ กลุ่มหนึ่งนำโดยศ. Jerzy Tyurin.

ผู้อ่านจะไม่เข้าใจชื่อเรื่องของการบรรยาย เวสลาวา นิซิออล (z prestiżowej Higher Pedagogical School) “- ทฤษฏีของฮอดจ์". อย่างไรก็ตาม การบรรยายครั้งนี้ ข้าพเจ้าได้ตัดสินใจอภิปรายที่นี่

เรขาคณิต -adic worlds

เริ่มต้นด้วยสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ง่ายๆ จำได้ไหมรีดเดอร์ วิธีการแลกเปลี่ยนข้อเขียน? อย่างแน่นอน. ลองนึกย้อนกลับไปในปีที่ไร้กังวลของโรงเรียนประถม หาร 125051 ด้วย 23 (นี่คือการกระทำทางด้านซ้าย) รู้ยัง ต่างกันได้(แอคชั่นขวา)?

วิธีใหม่นี้น่าสนใจ ฉันจะไปจากจุดสิ้นสุด เราต้องหาร 125051 ด้วย 23 เราต้องคูณ 23 ด้วยอะไรเพื่อให้หลักสุดท้ายเป็น 1 ค้นหาในหน่วยความจำและมี :=7 หลักสุดท้ายของผลลัพธ์คือ 7 คูณ ลบ เราได้ 489 คุณจะคูณ 23 ลงท้ายด้วย 9 ได้อย่างไร แน่นอน 3 เราไปถึงจุดที่เรากำหนดตัวเลขทั้งหมดของผลลัพธ์ เราคิดว่ามันทำไม่ได้และยากกว่าวิธีปกติของเรา - แต่เป็นเรื่องของการฝึกฝน!

สิ่งต่าง ๆ จะเปลี่ยนไปเมื่อผู้กล้าไม่ได้หารด้วยตัวหารอย่างสมบูรณ์ มาแบ่งกันดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น

ทางซ้ายมือเป็นทางโรงเรียนทั่วไป ทางขวามือคือ "คนแปลกหน้าของเรา"

เราตรวจสอบผลลัพธ์ทั้งสองได้ด้วยการคูณ เราเข้าใจข้อแรก: หนึ่งในสามของจำนวน 4675 คือหนึ่งพันห้าร้อยห้าสิบแปดและสามในช่วงเวลานั้น อันที่สองไม่สมเหตุสมผล: ตัวเลขนี้นำหน้าด้วยหกหกเป็นอนันต์แล้ว 8225 คืออะไร

ให้เราทิ้งคำถามเกี่ยวกับความหมายไว้สักครู่ มาเล่นกัน. ลองหาร 1 ด้วย 3 แล้วก็ 1 ด้วย 7 ซึ่งก็คือหนึ่งในสามกับหนึ่งในเจ็ด เราสามารถรับได้อย่างง่ายดาย:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

บรรทัดสุดท้ายนี้หมายถึง: บล็อก 285714 ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ในตอนเริ่มต้นและในที่สุดก็มีสามคน สำหรับผู้ที่ไม่เชื่อ นี่คือการทดสอบ:

ทีนี้ลองบวกเศษส่วน:

จากนั้นเราเพิ่มหมายเลขแปลกที่ได้รับและเราได้รับ (ตรวจสอบ) หมายเลขแปลก ๆ เดียวกัน

......95238095238095238095238010

เราตรวจสอบได้ว่านี่เท่ากับ

ยังไม่เห็นส่วนสำคัญ แต่เลขคณิตถูกต้อง

อีกหนึ่งตัวอย่าง

ปกติ แม้ว่าจะมีขนาดใหญ่ จำนวน 40081787109376 มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็สิ้นสุดใน 40081787109376 หมายเลข x40081787109376 ซึ่งก็คือ ( x40081787109376)² ลงท้ายด้วย x40081787109376 ด้วย

เคล็ดลับ. เรามี40081787109376²= 16065496 57881340081787109376 ดังนั้นหลักถัดไปคือส่วนประกอบสามถึงสิบ ซึ่งก็คือ 7. มาเช็คกัน: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376

คำถามที่ว่าทำไมเรื่องนี้จึงเป็นเรื่องยาก ง่ายกว่า: หาจุดสิ้นสุดที่คล้ายกันสำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5. ต่อกระบวนการค้นหาตัวเลขถัดไปอย่างไม่มีกำหนดเราจะมาถึง "ตัวเลข" ดังกล่าวที่ ²=²= (และไม่มีตัวเลขใดเท่ากับศูนย์หรือหนึ่ง)

เราเข้าใจดี ยิ่งหลังจุดทศนิยมมากเท่าใด ตัวเลขก็จะยิ่งมีความสำคัญน้อยกว่า ในการคำนวณทางวิศวกรรม ตัวเลขแรกหลังจุดทศนิยมมีความสำคัญ เช่นเดียวกับตัวเลขที่สอง แต่ในหลายกรณี สามารถสันนิษฐานได้ว่าอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางคือ 3,14 แน่นอน อุตสาหกรรมการบินจำเป็นต้องรวมตัวเลขมากกว่านี้ แต่ฉันไม่คิดว่าจะมีมากกว่าสิบ

ชื่อปรากฏในชื่อบทความ สตานิสลาฟเลม (พ.ศ. 1921-2006) และผู้ได้รับรางวัลโนเบลคนใหม่ ผู้หญิง Olga Tokarchuk ที่กล่าวมาเพียงเพราะว่า กรีดร้องอย่างไม่ยุติธรรมความจริงก็คือ Stanislav Lem ไม่ได้รับรางวัลโนเบลสาขาวรรณกรรม แต่มันไม่ได้อยู่ในมุมของเรา

เล็มมักมองเห็นอนาคต เขาสงสัยว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อพวกเขาเป็นอิสระจากมนุษย์ มีภาพยนตร์ในหัวข้อนี้กี่เรื่องที่เกิดขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้! เลมทำนายและอธิบายเครื่องอ่านออปติคัลและเภสัชวิทยาแห่งอนาคตได้อย่างแม่นยำค่อนข้างแม่นยำ

เขารู้คณิตศาสตร์แม้ว่าบางครั้งเขาจะมองว่ามันเป็นเครื่องประดับ แต่ไม่สนใจความถูกต้องของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ในเรื่อง "The Trial" นักบิน Pirks เข้าสู่วงโคจร B68 ด้วยระยะเวลาการหมุน 4 ชั่วโมง 29 นาที และคำแนะนำคือ 4 ชั่วโมง 26 นาที เขาจำได้ว่าพวกเขาคำนวณโดยมีข้อผิดพลาด 0,3 เปอร์เซ็นต์ เขาให้ข้อมูลกับเครื่องคิดเลขและเครื่องคิดเลขตอบว่าทุกอย่างเรียบร้อย ... ไม่เลย สามในสิบของเปอร์เซ็นต์ของ 266 นาทีนั้นน้อยกว่าหนึ่งนาที แต่ข้อผิดพลาดนี้เปลี่ยนแปลงอะไรหรือไม่? บางทีมันอาจจะเป็นความตั้งใจ?

ทำไมฉันถึงเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้? นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ตั้งคำถามนี้ด้วย: ลองนึกภาพชุมชน พวกเขาไม่มีจิตใจที่เป็นมนุษย์ของเรา สำหรับเรา 1609,12134 และ 1609,23245 เป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงกันมาก ซึ่งเป็นการประมาณที่ดีกับไมล์อังกฤษ อย่างไรก็ตาม คอมพิวเตอร์อาจถือว่าตัวเลข 468146123456123456 และ 9999999123456123456 ใกล้เคียงกัน มีเลขท้ายสิบสองหลักเหมือนกัน

ยิ่งเลขท้ายตัวบ่อย ตัวเลขยิ่งใกล้ และสิ่งนี้นำไปสู่ระยะทางที่เรียกว่าระยะทาง -adic. ให้ p เท่ากับ 10 สักครู่ ทำไมเพียงแค่ "ชั่วครู่" ฉันจะอธิบาย ... ตอนนี้ ระยะทาง 10 จุดของตัวเลขที่เขียนด้านบนคือ 

หรือหนึ่งในล้าน - เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้มีหกหลักร่วมกันในตอนท้าย จำนวนเต็มทั้งหมดแตกต่างจากศูนย์ถึงหนึ่งหรือน้อยกว่า ฉันจะไม่เขียนเทมเพลตเพราะมันไม่สำคัญ ยิ่งมีตัวเลขที่เหมือนกันในตอนท้ายมากเท่าใด ตัวเลขก็จะยิ่งเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น (สำหรับบุคคล ตรงกันข้าม จะพิจารณาตัวเลขเริ่มต้น) สิ่งสำคัญคือ p เป็นจำนวนเฉพาะ

จากนั้น - พวกเขาชอบศูนย์และหนึ่ง ดังนั้นพวกเขาจึงเห็นทุกอย่างในรูปแบบเหล่านี้: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111

ในนวนิยายเรื่อง Glos Pana นั้น Stanisław Lem จ้างนักวิทยาศาสตร์ให้พยายามอ่านข้อความที่ส่งมาจากชีวิตหลังความตาย แน่นอนว่าต้องเขียนโค้ดว่าศูนย์หนึ่ง มีใครเขียนถึงเราบ้างไหม? Lem โต้แย้งว่า "ข้อความใด ๆ สามารถอ่านได้ถ้าเป็นข้อความที่มีคนต้องการบอกเราบางอย่าง" แต่มันคือ? ฉันจะปล่อยให้ผู้อ่านมีภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้

เราอาศัยอยู่ในอวกาศ XNUMX มิติ R³. จดหมาย R จำได้ว่าแกนประกอบด้วยจำนวนจริง เช่น จำนวนเต็ม ลบและบวก ศูนย์ ตรรกยะ (เช่น เศษส่วน) และอตรรกยะ ซึ่งผู้อ่านพบที่โรงเรียน () และตัวเลขที่เรียกว่าตัวเลขเหนือธรรมชาติ ซึ่งเข้าถึงไม่ได้ในพีชคณิต (นี่คือตัวเลข π ซึ่งเชื่อมเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมกับเส้นรอบวงมานานกว่าสองพันปี)

เกิดอะไรขึ้นถ้าแกนของพื้นที่ของเราเป็นตัวเลข -adic?

Jerzy Mioduszowskiนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Silesia ให้เหตุผลว่าสิ่งนี้อาจเป็นได้ และถึงแม้จะเป็นเช่นนั้นก็ตาม เราสามารถ (Jerzy Mioduszowski กล่าว) ครอบครองสถานที่เดียวกันในอวกาศกับสิ่งมีชีวิตดังกล่าวโดยไม่รบกวนและไม่เห็นกันและกัน

ดังนั้นเราจึงมีรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดของโลก "ของพวกเขา" ให้สำรวจ ไม่น่าเป็นไปได้ที่ "พวกเขา" จะคิดแบบเดียวกันกับเราและศึกษาเรขาคณิตของเราด้วย เพราะกรณีของเราเป็นกรณีพิเศษของโลก "ของพวกเขา" ทั้งหมด "พวกเขา" นั่นคือโลกที่ชั่วร้ายทั้งหมดซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง = 2 และโลกที่น่าสนใจของศูนย์หนึ่ง ...

ที่นี่ผู้อ่านบทความอาจโกรธและโกรธได้ "นี่เป็นเรื่องไร้สาระที่นักคณิตศาสตร์ทำหรือไม่" พวกเขาเพ้อฝันเกี่ยวกับการดื่มวอดก้าหลังอาหารเย็น และใช้เงินของฉัน (=ผู้เสียภาษี) และแยกย้ายกันไปในสี่ลมปล่อยให้พวกเขาไปที่ฟาร์มของรัฐ ... โอ้ไม่มีฟาร์มของรัฐอีกต่อไป!

ผ่อนคลาย. พวกเขามักจะชอบเรื่องตลกเช่นนี้ ให้ฉันพูดถึงทฤษฎีบทแซนวิช: ถ้าฉันมีแซนวิชชีสและแฮม ฉันสามารถหั่นเป็นชิ้นเดียวเพื่อผ่าขนมปัง แฮม และชีสครึ่งหนึ่ง สิ่งนี้ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ประเด็นก็คือว่านี่เป็นเพียงการประยุกต์ใช้เชิงเล่นของทฤษฎีบททั่วไปที่น่าสนใจจากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

การจัดการกับตัวเลข -adic และเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องนั้นจริงจังแค่ไหน? ให้ฉันเตือนผู้อ่านว่าจำนวนตรรกยะ (อย่างง่าย: เศษส่วน) อยู่บนเส้นอย่างหนาแน่น แต่อย่ากรอกอย่างใกล้ชิด

จำนวนอตรรกยะอยู่ใน "หลุม" มีจำนวนมาก มากมายไม่รู้จบ แต่คุณสามารถพูดได้ว่าอนันต์ของพวกเขานั้นยิ่งใหญ่กว่าของที่ง่ายที่สุด ซึ่งเรานับ: หนึ่ง สอง สาม สี่ ... และอื่น ๆ มากถึง∞ นี่คือการเติม "หลุม" ของมนุษย์เรา เราได้สืบทอดโครงสร้างจิตนี้มาจาก พีทาโกรัส. 

แต่สิ่งที่น่าสนใจและสำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์คือเราไม่สามารถ "เติม" หลุมเหล่านี้ด้วยจำนวนอตรรกยะและ p-adic ได้ (สำหรับจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมด) สำหรับผู้อ่านที่เข้าใจเรื่องนี้ (และเรื่องนี้สอนกันในโรงเรียนมัธยมทุกแห่งเมื่อสามสิบปีก่อน) ประเด็นคือทุกซีเควนซ์ที่ตรงใจ รัฐของ Cauchyมาบรรจบกัน

ช่องว่างที่สิ่งนี้เป็นจริงเรียกว่าสมบูรณ์ ("ไม่มีอะไรหายไป") ฉันจะจำหมายเลข 547721051611007740081787109376

ลำดับ 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 และอื่นๆ มาบรรจบกันถึงขีดจำกัดที่แน่นอน ซึ่งมีค่าประมาณ 0,5477210516110077400 81787109376

อย่างไรก็ตามจากมุมมองของระยะทาง 10-adic ลำดับของตัวเลข 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 และอื่นๆ มาบรรจบกันที่หมายเลข "แปลก" ... 547721051 611007740081787109376

แต่ถึงอย่างนั้นก็อาจไม่ใช่เหตุผลเพียงพอที่จะให้เงินแก่นักวิทยาศาสตร์ โดยทั่วไปแล้ว เรา (นักคณิตศาสตร์) ปกป้องตนเองโดยบอกว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายว่างานวิจัยของเราจะมีประโยชน์อะไร เกือบจะแน่ใจว่าทุกคนจะได้รับประโยชน์และการกระทำในวงกว้างเท่านั้นที่มีโอกาสประสบความสำเร็จ

หนึ่งในสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เครื่องเอ็กซ์เรย์ ถูกสร้างขึ้นหลังจากค้นพบกัมมันตภาพรังสีโดยบังเอิญ เบคเคเรล่า. ถ้าไม่ใช่ในกรณีนี้ การวิจัยหลายปีคงจะไร้ประโยชน์ "เรากำลังมองหาวิธีที่จะเอ็กซเรย์ร่างกายมนุษย์"

สุดท้ายสิ่งสำคัญที่สุด ทุกคนยอมรับว่าความสามารถในการแก้สมการมีบทบาท และที่นี่ตัวเลขแปลก ๆ ของเราได้รับการปกป้องอย่างดี ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน (ฉันเกลียดมินโควสกี้) กล่าวว่าสมการบางสมการสามารถแก้ไขได้ด้วยจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อพวกมันมีรากและรากที่แท้จริงในทุกร่างกาย-adic

มีการนำเสนอแนวทางนี้ไม่มากก็น้อย แอนดรูว์ ไวลส์ซึ่งแก้สมการทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในช่วงสามร้อยปีที่ผ่านมา - ฉันแนะนำให้ผู้อ่านป้อนลงในเครื่องมือค้นหา "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์".