รหัสลับและสายลับ

ในมุมคณิตศาสตร์วันนี้ ฉันจะดูหัวข้อที่ฉันได้พูดคุยในค่ายวิทยาศาสตร์สำหรับเด็กประจำปีของมูลนิธิเด็กแห่งชาติ มูลนิธิกำลังมองหาเด็กและเยาวชนที่มีความสนใจด้านวิทยาศาสตร์ คุณไม่จำเป็นต้องมีพรสวรรค์มากนัก แต่คุณต้องมี "แนววิทยาศาสตร์" ไม่จำเป็นต้องได้เกรดโรงเรียนดีมาก ลองดูสิ คุณอาจจะชอบก็ได้ หากคุณเป็นนักเรียนมัธยมต้นหรือมัธยมปลาย ให้สมัคร โดยปกติผู้ปกครองหรือโรงเรียนเป็นผู้จัดทำรายงาน แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ค้นหาเว็บไซต์ของมูลนิธิและค้นหา

มีการพูดคุยกันมากขึ้นในโรงเรียนเกี่ยวกับ "การเข้ารหัส" ซึ่งหมายถึงกิจกรรมที่รู้จักกันในชื่อ "การเขียนโปรแกรม" ก่อนหน้านี้ นี่เป็นขั้นตอนทั่วไปสำหรับนักการศึกษาเชิงทฤษฎี พวกเขาขุดค้นวิธีการแบบเก่า ตั้งชื่อใหม่ และ "ความก้าวหน้า" ถูกสร้างขึ้นด้วยตัวมันเอง มีหลายพื้นที่ที่เกิดปรากฏการณ์วัฏจักรดังกล่าว

สรุปได้ว่าข้าพเจ้าลดคุณค่าการสอน เลขที่ ในการพัฒนาอารยธรรม บางครั้งเรากลับไปสู่สิ่งที่เคยเป็น ถูกทอดทิ้ง และขณะนี้ได้รับการฟื้นฟู แต่มุมของเราคือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เชิงปรัชญา

เป็นของชุมชนใดชุมชนหนึ่งยังหมายถึง "สัญลักษณ์ทั่วไป" การอ่าน คำพูดและอุปมาทั่วไป ผู้ที่เรียนภาษาโปแลนด์ได้อย่างสมบูรณ์ "ใน Szczebrzeszyn มีพุ่มไม้พุ่มขนาดใหญ่ มีแมลงปีกแข็งบินอยู่ในกก" จะถูกเปิดโปงทันทีว่าเป็นสายลับของรัฐต่างประเทศ หากไม่ตอบคำถามว่านกหัวขวานกำลังทำอะไร แน่นอนว่าเขาหายใจไม่ออก!

นี่ไม่ใช่แค่เรื่องตลก ในเดือนธันวาคม ค.ศ. 1944 ฝ่ายเยอรมันเปิดฉากการรุกครั้งสุดท้ายในอาร์เดนส์ด้วยค่าใช้จ่ายมหาศาล พวกเขาระดมทหารที่พูดภาษาอังกฤษได้คล่องเพื่อขัดขวางการเคลื่อนไหวของกองกำลังพันธมิตร เช่น นำพวกเขาไปในทางที่ผิดที่ทางแยก หลังจากแปลกใจอยู่ครู่หนึ่ง ชาวอเมริกันก็เริ่มถามคำถามที่น่าสงสัยกับทหาร คำตอบที่คนจากเท็กซัส เนบราสก้า หรือจอร์เจียจะเข้าใจได้ชัดเจน และไม่น่าจะเป็นไปได้สำหรับคนที่ไม่ได้เติบโตที่นั่น ความไม่รู้ของความเป็นจริงนำไปสู่การดำเนินการโดยตรง

ถึงจุด ฉันแนะนำให้ผู้อ่านหนังสือของ Lukasz Badowski และ Zaslaw Adamashek เรื่อง "Laboratory in a Desk Drawer - Mathematics" นี่เป็นหนังสือที่ยอดเยี่ยมที่แสดงให้เห็นอย่างยอดเยี่ยมว่าคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับบางสิ่งจริงๆ และ "การทดลองทางคณิตศาสตร์" ไม่ใช่คำที่ว่างเปล่า รวมถึงสิ่งก่อสร้างที่อธิบายไว้ของ "ปริศนากระดาษแข็ง" ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่เราใช้เวลาสร้างเพียงสิบห้านาทีและใช้งานได้เหมือนเครื่องเข้ารหัส แนวคิดนี้เป็นที่รู้จักกันดี ผู้เขียนกล่าวถึงมันออกมาอย่างสวยงาม และฉันจะเปลี่ยนมันเล็กน้อยและห่อมันด้วยเสื้อผ้าทางคณิตศาสตร์มากขึ้น

เลื่อยวงเดือน

บนถนนสายหนึ่งในหมู่บ้านเดชาของฉันในเขตชานเมืองวอร์ซอว์ ทางเท้าเพิ่งถูกรื้อจาก "trlinka" ซึ่งเป็นแผ่นพื้นหกเหลี่ยม การนั่งไม่สบาย แต่จิตวิญญาณของนักคณิตศาสตร์ชื่นชมยินดี การคลุมระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ (เช่น ปกติ) นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ต้องเป็นสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติเท่านั้น

บางทีฉันอาจล้อเล่นเล็กน้อยด้วยความปิติทางวิญญาณนี้ แต่รูปหกเหลี่ยมเป็นรูปที่สวยงาม จากนั้นคุณสามารถสร้างอุปกรณ์เข้ารหัสที่ประสบความสำเร็จพอสมควร เรขาคณิตจะช่วยได้ รูปหกเหลี่ยมมีความสมมาตรในการหมุน โดยจะเหลื่อมกันเมื่อหมุนหลาย ๆ 60 องศา ช่องที่มีเครื่องหมาย เช่น ด้วยตัวอักษร A ที่ด้านซ้ายบน รูปที่. 1 หลังจากเปลี่ยนมุมนี้ก็จะตกอยู่ในกล่อง A - และเช่นเดียวกันกับตัวอักษรอื่น ๆ ลองตัดสี่เหลี่ยมหกช่องออกจากตาราง โดยแต่ละช่องจะมีตัวอักษรต่างกัน เราใส่กริดที่ได้รับด้วยวิธีนี้ลงบนกระดาษ ในช่องฟรีหกช่อง ให้ป้อนตัวอักษรหกตัวของข้อความที่เราต้องการเข้ารหัส ลองหมุนแผ่น 60 องศา ฟิลด์ใหม่หกฟิลด์จะปรากฏขึ้น - ป้อนหกตัวอักษรถัดไปของข้อความของเรา

ข้าว. 1. จุดเชื่อมต่อของความสุขของคณิตศาสตร์

ไปทางขวา รูปที่. 1 เรามีข้อความที่เข้ารหัสในลักษณะนี้: "มีรถจักรไอน้ำขนาดใหญ่อยู่ที่สถานี"

ตอนนี้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนเล็กน้อยจะมีประโยชน์ ตัวเลขสองตัวสามารถจัดเรียงสัมพันธ์กันได้กี่วิธี?

ถามอะไรโง่ๆ สำหรับสองคน: อันใดอันหนึ่งอยู่ข้างหน้าหรืออีกอันหนึ่ง

ยอดเยี่ยม. และสามตัวเลข?

การแสดงการตั้งค่าทั้งหมดไม่ใช่เรื่องยาก:

123, 132, 213, 231, 312, 321

ก็สำหรับสี่! ยังสามารถสะกดออกมาได้ชัดเจน เดากฎการสั่งซื้อที่ฉันใส่:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

เมื่อตัวเลขเป็นห้า เราจะได้รับการตั้งค่าที่เป็นไปได้ 120 รายการ มาเรียกพวกเขาว่า พีชคณิต. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ของตัวเลข n คือผลคูณ 1 2 3 ... n เรียกว่า сильный และเครื่องหมายอัศเจรีย์: 3!=6, 4!=24, 5!=120. สำหรับหมายเลข 6 ถัดไป เรามี 6!=720. เราจะใช้สิ่งนี้เพื่อทำให้เกราะป้องกันตัวเลขหกเหลี่ยมของเราซับซ้อนยิ่งขึ้น

เราเลือกการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 5 เช่น 351042 ดิสก์การรบกวนแบบหกเหลี่ยมของเรามีเส้นประในช่องตรงกลาง - เพื่อให้สามารถใส่ "ในตำแหน่งศูนย์" - ขีดขึ้น ดังในรูป 1. เราวางดิสก์ในลักษณะนี้บนแผ่นกระดาษที่เราต้องเขียนรายงานของเรา แต่เราไม่ได้เขียนมันทันที แต่หมุนสามครั้งเป็น 60 องศา (เช่น 180 องศา) และป้อนตัวอักษรหกตัว ฟิลด์ที่ว่างเปล่า เรากลับไปที่ตำแหน่งเริ่มต้น เราหมุนหน้าปัดห้าครั้ง 60 องศา นั่นคือ "ฟัน" ห้าซี่ของหน้าปัด เราพิมพ์ ตำแหน่งมาตราส่วนถัดไปคือตำแหน่งที่หมุน 60 องศารอบศูนย์ ตำแหน่งที่สี่คือ 0 องศา นี่คือตำแหน่งเริ่มต้น

เข้าใจไหมว่าเกิดอะไรขึ้น? เรามีโอกาสเพิ่มเติม - เพื่อทำให้ "เครื่องจักร" ของเราซับซ้อนกว่าเจ็ดร้อยครั้ง! ดังนั้นเราจึงมีสองตำแหน่งอิสระของ "หุ่นยนต์" - ทางเลือกของกริดและทางเลือกของการเปลี่ยนแปลง สามารถเลือกกริดได้ 66 = 46656 วิธี การเปลี่ยนลำดับ 720 ซึ่งให้ความเป็นไปได้ 33592320 มากกว่า 33 ล้านรหัส! เกือบน้อยเพราะ กริดบางอันไม่สามารถตัดออกจากกระดาษได้

ในส่วนล่าง รูปที่. 1 เรามีข้อความที่เข้ารหัสดังนี้: "ฉันกำลังส่งแผนกร่มชูชีพสี่แห่งให้คุณ" เข้าใจได้ง่ายว่าไม่ควรปล่อยให้ศัตรูรู้เรื่องนี้ แต่เขาจะเข้าใจสิ่งนี้หรือไม่:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

ทั้งที่มีลายเซ็น 351042?

เรากำลังสร้าง Enigma เครื่องเข้ารหัสของเยอรมัน

ข้าว. 2. ตัวอย่างการตั้งค่าเริ่มต้นของเครื่องเข้ารหัสของเรา

พีชคณิต (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY)

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วฉันเป็นหนี้ความคิดในการสร้างเครื่องกระดาษแข็งดังกล่าวให้กับหนังสือ "Lab in a Drawer - Mathematics" "โครงสร้าง" ของฉันค่อนข้างแตกต่างจากที่ผู้เขียนให้ไว้

เครื่องเข้ารหัสที่ชาวเยอรมันใช้ในช่วงสงครามมีหลักการง่ายๆ ที่แยบยล ค่อนข้างคล้ายกับที่เราเห็นด้วยเลขฐานสิบหก เหมือนเดิมทุกครั้ง: ทำลายการมอบหมายงานอย่างหนักของจดหมายไปยังจดหมายอีกฉบับหนึ่ง. มันจะต้องเปลี่ยนได้ ทำอย่างไรจึงจะสามารถควบคุมได้?

อย่าเลือกการเรียงสับเปลี่ยนใดๆ เลย แต่อันที่มีความยาวรอบ 2 พูดง่ายๆ ก็คือ "Gaderipoluk" ที่อธิบายไว้ที่นี่เมื่อไม่กี่เดือนก่อน แต่ครอบคลุมตัวอักษรทั้งหมดของตัวอักษร เรามาเห็นด้วยกับ 24 ตัวอักษร - โดยไม่ต้อง ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q การเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวมีกี่วิธี? นี่เป็นงานสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ควรสามารถแก้ไขได้ทันที) เท่าไหร่? มาก? หลายพัน? ใช่:

1912098225024001185793365052108800000000 (อย่าพยายามอ่านตัวเลขนี้เลย) มีความเป็นไปได้มากมายที่จะตั้งตำแหน่ง "ศูนย์" และอาจเป็นเรื่องยาก

เครื่องของเราประกอบด้วยแผ่นดิสก์กลมสองแผ่น หนึ่งในนั้นซึ่งยังคงยืนอยู่มีการเขียนจดหมาย คล้ายกับหน้าปัดของโทรศัพท์เครื่องเก่าที่คุณหมุนหมายเลขโดยหมุนแป้นไปจนสุด โรตารีเป็นครั้งที่สองที่มีโทนสี วิธีที่ง่ายที่สุดคือใส่มันลงบนจุกปกติโดยใช้หมุด คุณสามารถใช้แผ่นบางหรือกระดาษแข็งหนาแทนไม้ก๊อกได้ Lukasz Badowski และ Zasław Adamaszek แนะนำให้วางแผ่นดิสก์ทั้งสองในกล่องซีดี

ลองนึกภาพว่าเราต้องการเข้ารหัสคำว่า ARMATY (ข้าว. 2 และ 3). ตั้งค่าอุปกรณ์ไปที่ตำแหน่งศูนย์ (ลูกศรขึ้น) ตัวอักษร A ตรงกับ F หมุนวงจรภายในไปทางขวาหนึ่งตัวอักษร เรามีตัวอักษร R เพื่อเข้ารหัสตอนนี้มันตรงกับ A หลังจากการหมุนรอบถัดไปเราจะเห็นว่าตัวอักษร M ตรงกับ U การหมุนครั้งต่อไป (แผนภาพที่สี่) ให้การโต้ตอบ A - P บนหน้าปัดที่ห้าเรามี T - A. สุดท้าย (วงกลมที่หก ) Y – Y ศัตรูคงไม่เดาว่า CFCFAs ของเราจะเป็นอันตรายต่อเขา และ "ของเรา" จะอ่านการจัดส่งอย่างไร พวกเขาต้องมีเครื่องเดียวกัน "โปรแกรม" เดียวกันนั่นคือด้วยการเรียงสับเปลี่ยนเดียวกัน ตัวเลขเริ่มต้นที่ตำแหน่งศูนย์ ดังนั้นค่าของ F คือ A หมุนแป้นตามเข็มนาฬิกา ตอนนี้ตัวอักษร A เชื่อมโยงกับ R เขาหมุนแป้นหมุนไปทางขวาและใต้ตัวอักษร U จะพบ M ฯลฯ เสมียนรหัสวิ่งไปหานายพล: "นายพล ฉันกำลังรายงาน ปืนกำลังมา!"

ข้าว. 3. หลักการทำงานของกระดาษปริศนาของเรา

ข้าว. 3. หลักการทำงานของกระดาษปริศนาของเรา

ความเป็นไปได้ของอีนิกมาในยุคดึกดำบรรพ์นั้นน่าทึ่งมาก เราสามารถเลือกการเรียงสับเปลี่ยนเอาต์พุตอื่นๆ เราสามารถ - และมีโอกาสมากขึ้นที่นี่ - ไม่ใช่ "serif" หนึ่งตัวเป็นประจำ แต่อยู่ในลำดับที่เปลี่ยนแปลงทุกวันคล้ายกับรูปหกเหลี่ยม (เช่น ตัวอักษรสามตัวแรก จากนั้นเจ็ด แปด สี่ ... .. ฯลฯ . .).

คุณเดาได้อย่างไร! และสำหรับนักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ (แมเรียน รีฟสกี้, เฮนรี่ ซิกัลสกี้, เจอร์ซี รูซิคกี้) เกิดขึ้น. ข้อมูลที่ได้รับจึงมีค่ามาก ก่อนหน้านี้พวกเขามีส่วนสำคัญไม่แพ้กันในประวัติศาสตร์การป้องกันของเรา วาคลาฟ เซียร์ปินสกี้ i สตานิสลาฟ มาซูร์เควิชที่ฝ่าฝืนประมวลกฎหมายกองทัพรัสเซียในปี 1920 สายเคเบิลที่ถูกสกัดกั้นทำให้ Piłsudski มีโอกาสสร้างเส้นทางที่มีชื่อเสียงจากแม่น้ำ Vepsz

ฉันจำ Vaslav Sierpinski (1882-1969) เขาดูเหมือนนักคณิตศาสตร์ที่ไม่มีโลกภายนอก เขาไม่สามารถพูดคุยเกี่ยวกับการมีส่วนร่วมของเขาในชัยชนะในปี 1920 ทั้งในด้านการทหารและ ... ด้วยเหตุผลทางการเมือง (ทางการของสาธารณรัฐประชาชนโปแลนด์ไม่ชอบผู้ที่ปกป้องเราจากสหภาพโซเวียต)

รูปที่. 4. การเรียงสับเปลี่ยน (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT)

ข้าว. 5. การตกแต่งที่สวยงาม แต่ไม่เหมาะกับการเข้ารหัส สม่ำเสมอเกินไป

ภารกิจที่ 1 Na รูปที่. 4 คุณมีการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อสร้างอีนิกมาอีกแบบหนึ่ง คัดลอกภาพวาดไปยังเครื่องซีโรกราฟ สร้างรถ รหัสชื่อและนามสกุลของคุณ CWONUE JTRYGT ของฉัน หากคุณต้องการเก็บบันทึกของคุณเป็นส่วนตัว ให้ใช้ Cardboard Enigma

ภารกิจที่ 2 เข้ารหัสชื่อและนามสกุลของคุณของ "รถยนต์" คันใดคันหนึ่งที่คุณเห็น แต่ (โปรดทราบ!) ด้วยความซับซ้อนเพิ่มเติม: เราไม่ได้หันไปทางขวาแม้แต่อันเดียว แต่เป็นไปตามรูปแบบ {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - นั่นคือ ทีละหนึ่ง ทีละสอง ทีละสาม ทีละ 2 อีกครั้ง ทีละ 1 ทีละ 2 เป็นต้น เช่น "เวฟเล็ต" . ตรวจสอบให้แน่ใจว่าชื่อและนามสกุลของฉันเข้ารหัสเป็น CZTTAK SDBITH ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าเครื่อง Enigma นั้นทรงพลังแค่ไหน?

การแก้ปัญหาสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย มีตัวเลือกการกำหนดค่าสำหรับ Enigma กี่ตัวเลือก (ในเวอร์ชันนี้ ตามที่อธิบายไว้ในบทความ) เรามีจดหมาย 24 ฉบับ เราเลือกตัวอักษรคู่แรก - สามารถทำได้

วิธี คู่ต่อไปสามารถเลือกได้บน

วิธีเพิ่มเติม

ฯลฯ หลังจากการคำนวณที่สอดคล้องกัน (ต้องคูณตัวเลขทั้งหมด) เราจะได้

151476660579404160000

แล้วหารจำนวนนั้นด้วย 12! (12 แฟกทอเรียล) เนื่องจากสามารถหาคู่เดียวกันได้ในลำดับที่ต่างกัน ในที่สุดเราจะได้ "ผลรวม"

316234143225,

นั่นคือมากกว่า 300 แสนล้าน ซึ่งดูเหมือนจะไม่มากสำหรับซุปเปอร์คอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม หากพิจารณาลำดับการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม ตัวเลขนี้จะเพิ่มขึ้นอย่างมาก เรายังนึกถึงการเรียงสับเปลี่ยนประเภทอื่นๆ ได้ด้วย

ดูเพิ่มเติม: