บทความเกี่ยวกับความไม่มีอะไร

ตอนเป็นเด็ก ฉันรู้สึกทึ่งกับเรื่องราวเกี่ยวกับ "ซุปบนเล็บ" ซึ่งผู้อ่านหลายคนอาจรู้จักกันดี คุณยายของฉัน (เกิดในศตวรรษที่ XNUMX) บอกฉันในเวอร์ชันนี้ว่า "คอซแซคมาขอน้ำเพราะเขามีตะปูและเขาจะทำซุปบนนั้น" พนักงานต้อนรับที่อยากรู้อยากเห็นให้น้ำหนึ่งหม้อแก่เขา… และเรารู้ว่าเกิดอะไรขึ้นต่อไป: “ซุปควรเค็ม ไดตี้ คุณย่า เกลือ” จากนั้นเขาก็ล้างเนื้อ “เพื่อปรับปรุงรสชาติ” และอื่น ๆ ในที่สุดเขาก็โยนเล็บ "ต้ม" ทิ้งไป

ดังนั้นบทความนี้ควรจะเกี่ยวกับความว่างเปล่าของอวกาศ - และนี่คือเกี่ยวกับการลงจอดของอุปกรณ์ยุโรปบนดาวหาง 67P / Churyumov-Gerasimenko เมื่อวันที่ 12 พฤศจิกายน 2014 แต่ในขณะที่เขียนฉันยอมจำนนต่อนิสัยที่มีมายาวนาน ฉันยังคงเป็นนักคณิตศาสตร์ เป็นอย่างไรบ้างกับ ชอบс ศูนย์ ในวิชาคณิตศาสตร์?

ไม่มีอะไรเกิดขึ้นได้อย่างไร?

ไม่สามารถพูดได้ว่าไม่มีสิ่งใดอยู่ อย่างน้อยก็มีอยู่ในแนวความคิดทางปรัชญา คณิตศาสตร์ ศาสนา และภาษาพูดโดยสมบูรณ์ ศูนย์เป็นตัวเลขธรรมดา ศูนย์องศาบนเทอร์โมมิเตอร์ก็เป็นอุณหภูมิเช่นกัน และศูนย์สมดุลในธนาคารเป็นเหตุการณ์ที่ไม่พึงปรารถนาแต่มักเกิดขึ้น โปรดทราบว่าลำดับเหตุการณ์ไม่มีปีศูนย์ และนั่นเป็นเพราะว่าศูนย์ถูกนำมาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะในยุคกลางตอนปลายเท่านั้น ช้ากว่าลำดับเหตุการณ์ที่พระไดโอนิซิอัสเสนอ (ศตวรรษที่ XNUMX)

น่าแปลกที่เราสามารถทำได้โดยไม่มีศูนย์นี้ ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขติดลบ ในหนังสือเรียนเรื่องตรรกศาสตร์เล่มหนึ่ง ฉันพบแบบฝึกหัด: วาดหรือพูดว่าคุณนึกภาพว่าไม่มีปลาอย่างไร น่าทึ่งใช่มั้ย? ทุกคนสามารถวาดปลาได้ แต่ไม่ใช่อย่างใดอย่างหนึ่ง?

ตอนนี้สั้น ๆ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน. การให้สิทธิ์การดำรงอยู่ให้กับชุดว่างที่มีเครื่องหมายกากบาทวงกลม ∅ เป็นขั้นตอนที่จำเป็นซึ่งคล้ายกับการเพิ่มศูนย์ให้กับชุดตัวเลข ชุดว่างเป็นชุดเดียวที่ไม่มีองค์ประกอบใด ๆ ของสะสมดังกล่าว:

แต่ไม่มีชุดว่างสองชุดที่แตกต่างกัน ชุดเปล่าจะรวมอยู่ในชุดอื่นๆ ทุกชุด:

อันที่จริงกฎของตรรกะทางคณิตศาสตร์บอกว่าชุด A มีอยู่ในชุด B ถ้าหากประโยค:

มันเกี่ยวข้องกับ

ในกรณีของเซตว่าง ∅ ประพจน์จะเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นตามกฎของตรรกศาสตร์ นัยโดยทั่วไปจะเป็นจริง ทุกอย่างเกิดจากการโกหก (“ที่นี่ฉันจะปลูกกระบองเพชรถ้าคุณย้ายไปเรียนในชั้นเรียนถัดไป…”) ดังนั้น เนื่องจากเซตว่างมีอยู่ในเซตว่างแต่ละเซต หากเป็นเซตที่ต่างกัน XNUMX เซต แต่ละเซตก็จะอยู่ในอีกเซตหนึ่ง อย่างไรก็ตามหากมี XNUMX ชุดอยู่ในชุดเดียวกัน ชุดทั้งสองชุดจะเท่ากัน นั่นเป็นเหตุผล: มีชุดว่างเพียงชุดเดียว!

สมมุติฐานของการมีอยู่ของเซตว่างไม่ได้ขัดแย้งกับกฎของคณิตศาสตร์ เหตุใดจึงไม่ทำให้มันมีชีวิต หลักปรัชญาที่เรียกว่ามีดโกนของ Occam» คำสั่งให้ยกเว้นแนวคิดที่ไม่จำเป็น แต่ถูกต้อง แนวคิดเรื่องเซตว่างมีประโยชน์มากในวิชาคณิตศาสตร์. โปรดทราบว่าเซตว่างมีมิติ -1 (ลบหนึ่ง) - องค์ประกอบที่ไม่มีมิติคือจุด และระบบเบาบาง องค์ประกอบหนึ่งมิติคือเส้น และเราพูดถึงองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากที่มีมิติเศษส่วนในบทเรื่องเศษส่วน .

เป็นที่น่าสนใจว่าการสร้างคณิตศาสตร์ทั้งหมด: ตัวเลข, ตัวเลข, ฟังก์ชัน, ตัวดำเนินการ, ปริพันธ์, อนุพันธ์, สมการ ... สามารถได้มาจากแนวคิดเดียว - เซตว่าง! ก็พอจะถือว่ามีเซตว่างอยู่ โดยองค์ประกอบที่สร้างขึ้นใหม่สามารถนำมารวมกันเป็นชุดได้ สร้างคณิตศาสตร์ทั้งหมด. นี่คือวิธีที่ Gottlob Frege นักตรรกวิทยาชาวเยอรมันสร้างตัวเลขธรรมชาติ Zero เป็นคลาสของเซตที่มีองค์ประกอบที่สัมพันธ์กันกับองค์ประกอบของเซตว่าง หนึ่งคือคลาสของเซตที่มีอิลิเมนต์ที่สัมพันธ์กันกับอิลิเมนต์ของเซตที่มีอิลิเมนต์เดียวคือเซตว่าง Two คือคลาสของเซตที่มีอิลิเมนต์แบบหนึ่งต่อหนึ่งโดยมีอิลิเมนต์ของเซตประกอบด้วยเซตว่าง และเซ็ตที่มีอิลิเมนต์เดียวคือเซตว่าง... และอื่นๆ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าจะเป็นสิ่งที่ซับซ้อนมาก แต่จริงๆ แล้วไม่ใช่

สีฟ้ากระจายไปทั่วตัวฉัน

กลิ่นเฮเทอร์ กลิ่นมิ้นต์...

Wojciech Mlynarski จาก Harvest Girl

จินตนาการยาก

ไม่มีอะไรยากจะจินตนาการ ในเรื่องราวของ Stanisław Lem "How the World Was Saved" นักออกแบบ Trurl ได้สร้างเครื่องจักรที่จะทำทุกอย่างที่ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร เมื่อ Klapaucius สั่งให้สร้าง นิคเครื่องจักรเริ่มกำจัดวัตถุต่างๆ ออกจากโลก โดยมีเป้าหมายสูงสุดในการขจัดทุกสิ่ง เมื่อถึงเวลาที่ Klapaucius ที่หวาดกลัวหยุดรถ ห้องครัว ไม้ต้นยู ไม้แขวน แฮ็ก ไรม์ เครื่องตี แป้ง เครื่องบด ไม้เสียบ ฟิลิดรอน และน้ำค้างแข็งก็หายไปจากโลกตลอดกาล และพวกเขาก็หายไปตลอดกาล ...

Józef Tischner เขียนเกี่ยวกับความว่างเปล่าใน History of Mountain Philosophy ของเขาได้ดีมาก ในช่วงวันหยุดที่ผ่านมา ฉันตัดสินใจที่จะสัมผัสกับความว่างเปล่านี้ กล่าวคือ ฉันไปที่หนองน้ำระหว่าง Nowy Targ และ Jabłonka ใน Podhale บริเวณนี้เรียกว่า Pustachia คุณไปคุณไป แต่ถนนไม่ลดลง - แน่นอนในระดับโปแลนด์ที่เรียบง่ายของเรา วันหนึ่งฉันนั่งรถประจำทางในจังหวัดซัสแคตเชวันของแคนาดา ข้างนอกเป็นทุ่งข้าวโพด ฉันงีบหลับไปครึ่งชั่วโมง เมื่อฉันตื่นขึ้นเรากำลังขับรถผ่านทุ่งข้าวโพดแห่งเดิม ... แต่เดี๋ยวก่อน นี่ว่างเปล่าเหรอ? ในแง่หนึ่ง การไม่เปลี่ยนแปลงเป็นเพียงความว่างเปล่า

เราคุ้นเคยกับการมีอยู่อย่างต่อเนื่องของวัตถุต่าง ๆ รอบตัวเราและจาก บางสิ่งบางอย่าง คุณไม่สามารถวิ่งหนีได้แม้จะหลับตา “ฉันคิดว่า ดังนั้นฉันจึงเป็น” เดส์การตส์กล่าว ถ้าฉันคิดอะไรบางอย่างแล้วฉันก็มีอยู่ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยก็มีบางอย่างในโลก (คือฉัน) สิ่งที่ฉันคิดมีอยู่จริงหรือไม่? สิ่งนี้สามารถพูดคุยกันได้ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ หลักการของไฮเซนเบิร์กเป็นที่รู้จักกัน: การสังเกตแต่ละครั้งรบกวนสถานะของวัตถุที่สังเกต จนกว่าเราจะเห็นมัน นิค สิ่งนั้นไม่มีอยู่จริง และเมื่อเราเริ่มมองหา วัตถุนั้นก็ดับไป ชอบ และมันจะกลายเป็น บางสิ่งบางอย่าง. มันไร้สาระ หลักการมานุษยวิทยา: ไม่มีประโยชน์ที่จะถามว่าโลกจะเป็นอย่างไรถ้าไม่มีเรา โลกเป็นสิ่งที่ดูเหมือนกับเรา บางทีสิ่งมีชีวิตอื่นอาจมองว่าโลกเป็นมุม?

โพซิตรอน (เช่น อิเล็กตรอนที่เป็นบวก) เป็นรูในอวกาศ "ไม่มีอิเล็กตรอน" ในกระบวนการทำลายล้าง อิเล็กตรอนจะกระโดดเข้าไปในรูนี้และ "ไม่มีอะไรเกิดขึ้น" - ไม่มีรู ไม่มีอิเล็กตรอน ฉันจะข้ามเรื่องตลกมากมายเกี่ยวกับรูในเนยแข็งสวิส (“ยิ่งฉันมีมากเท่าไหร่ก็ยิ่งมีน้อยลง…”) นักแต่งเพลงชื่อดัง John Cage ได้ใช้ความคิดของเขาถึงขนาดที่เขาแต่ง (?) เพลงหนึ่ง (?) ซึ่งวงออเคสตรานั่งนิ่งเป็นเวลา 4 นาที 33 วินาทีและแน่นอนว่าไม่ได้เล่นอะไรเลย “สี่นาทีสามสิบสามวินาทีเท่ากับสองร้อยเจ็ดสิบสาม 273 และลบ 273 องศาเป็นศูนย์สัมบูรณ์ ซึ่งการเคลื่อนไหวทั้งหมดจะหยุดลง” นักแต่งเพลง (?) อธิบาย

กรองให้เป็นศูนย์ ไม่มีอะไร นิค นิค ไม่มีอะไร ศูนย์!

Jerzy ในภาพยนตร์ของ Andrzej Wajda เรื่อง Over the Years,

วันผ่านไป"

แล้วทุกคนล่ะ?

หลายคน (ตั้งแต่ชาวนาธรรมดาไปจนถึงนักปรัชญาที่มีชื่อเสียง) สงสัยเกี่ยวกับปรากฏการณ์การดำรงอยู่ ในวิชาคณิตศาสตร์ สถานการณ์เป็นเรื่องง่าย มีบางอย่างที่สอดคล้องกัน

เธอหายเข้าไปในทุ่งชายขอบ

ในคอร์นฟลาวเวอร์วัชพืชและปากสิงโต ...

ก็เกิดเรื่องแบบนี้ขึ้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเก็บเกี่ยวและในระหว่างการเก็บเกี่ยว

โดยเฉพาะ…

Wojciech Mlynarski จาก Harvest Girl

ทุกอย่างอยู่ที่สุดขั้วอื่น ๆ ของ Nothing ในทางคณิตศาสตร์ เรารู้ว่า ทุกสิ่งไม่มีอยู่จริง. เป็นเพียงความคิดที่ไม่ถูกต้องเกินไปว่าการดำรงอยู่ของเขาจะปราศจากความขัดแย้ง นี้สามารถเข้าใจได้โดยตัวอย่างของความขัดแย้งเก่า: "ถ้าพระเจ้ามีอำนาจทุกอย่างแล้วสร้างหินที่จะหยิบขึ้นมา?" ข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าไม่มีเซตของเซตทั้งหมดนั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีบท นักร้อง-Bershteinซึ่งระบุว่า "จำนวนอนันต์" (คณิตศาสตร์: หมายเลขที่สำคัญ) เซตของสมาชิกทั้งหมดในเซตที่กำหนดนั้นมากกว่าจำนวนขององค์ประกอบของเซ็ตนี้

หากเซตมีองค์ประกอบ มันก็มี2ⁿ ชุดย่อย; ตัวอย่างเช่น เมื่อ = 3 และเซตประกอบด้วย {1, 2, 3} เซตย่อยต่อไปนี้จะมีอยู่:

• ชุดสององค์ประกอบสามชุด: แต่ละชุดไม่มีหมายเลข 1, 2, 3,
• ชุดเปล่าหนึ่งชุด,
• ชุดองค์ประกอบเดียวสามชุด
• ทั้งชุด {1,2,3}

– เพียงแปด, 2³และผู้อ่านที่เพิ่งจบการศึกษาจากโรงเรียนฉันต้องการจำสูตรที่เกี่ยวข้อง:

สัญลักษณ์นิวตันแต่ละตัวในสูตรนี้กำหนดจำนวนชุดองค์ประกอบ k ในชุดองค์ประกอบ -

ในวิชาคณิตศาสตร์ สัมประสิทธิ์ทวินามปรากฏในที่อื่นๆ เช่น ในสูตรที่น่าสนใจสำหรับการคูณลดลง:

และจากรูปแบบที่แน่นอน การพึ่งพาอาศัยกันของพวกมันน่าสนใจกว่ามาก

เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าอะไร - เท่าที่เกี่ยวข้องกับตรรกะและคณิตศาสตร์ - คืออะไร และอะไรที่ไม่ใช่ทุกสิ่ง ข้อโต้แย้งเรื่องการไม่มีอยู่จริง เช่นเดียวกับ Winnie the Pooh ที่ถาม Tiger แขกของเขาอย่างสุภาพว่า Tigers ชอบน้ำผึ้ง ลูกโอ๊ก และพืชมีหนามหรือไม่? “เสือชอบทุกอย่าง” คูบุสตอบว่า ถ้าพวกมันชอบทุกอย่าง พวกมันก็ชอบนอนบนพื้นด้วย ดังนั้นวินนี่จึงสามารถกลับไปนอนได้

อีกข้อโต้แย้ง ความขัดแย้งของรัสเซล. ในเมืองมีช่างตัดผมคนหนึ่งที่โกนผู้ชายทุกคนที่ไม่โกนหนวด เขาโกนหนวดเองเหรอ? คำตอบทั้งสองข้อขัดแย้งกับเงื่อนไขที่เสนอว่า ผู้ที่ไม่ทำเองเท่านั้นที่จะถูกสังหาร

ตามหาคอลเลคชั่นทั้งหมด

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อพิสูจน์ที่ฉลาด แต่ส่วนใหญ่ทางคณิตศาสตร์ว่าไม่มีเซตของเซตทั้งหมด (เพื่อไม่ให้สับสน)

อันดับแรก เราจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับเซต X ที่ไม่ว่างเปล่า เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำกันซึ่งจับคู่เซตนี้กับเซตของเซตย่อย P(X) สมมุติว่าฟังก์ชันนี้มีอยู่จริง ลองแทนด้วย f ดั้งเดิม f จาก x คืออะไร? นี่คือคอลเลกชัน xf เป็นของ x หรือไม่ นี้ไม่เป็นที่รู้จัก ไม่ว่าคุณจะต้องทำหรือไม่ทำ แต่สำหรับ x บางตัว มันยังคงต้องเป็นแบบที่ไม่อยู่ใน f ของ x ทีนี้ ลองพิจารณาเซตของ x ทั้งหมดที่ x ไม่ได้เป็นของ f(x) แสดงว่า (ชุดนี้) โดย A. มันสอดคล้องกับองค์ประกอบบางอย่างของชุด X. เป็นของ A หรือไม่? สมมติว่าคุณควร แต่ A เป็นเซตที่มีเฉพาะองค์ประกอบของ x ที่ไม่ใช่ของ f(x) ... บางทีมันอาจจะไม่ใช่ของ A ก็ได้? แต่เซต A มีองค์ประกอบทั้งหมดของคุณสมบัตินี้ และด้วยเหตุนี้ A ก็เช่นกัน จุดสิ้นสุดของการพิสูจน์

ดังนั้นหากมีชุดของชุดทั้งหมด มันก็จะเป็นส่วนย่อยของตัวมันเอง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ตามเหตุผลก่อนหน้านี้

วุ้ย ฉันไม่คิดว่าผู้อ่านจำนวนมากได้เห็นข้อพิสูจน์นี้ แต่ฉันนำมันขึ้นมาเพื่อแสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์ต้องทำอะไรบ้างเมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่สิบเก้า เมื่อพวกเขาเริ่มศึกษารากฐานของวิทยาศาสตร์ของตนเอง ปรากฎว่าปัญหาอยู่ที่ไม่มีใครคาดคิด ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับคณิตศาสตร์ทั้งหมด การให้เหตุผลเกี่ยวกับพื้นฐานเหล่านี้ไม่สำคัญ: ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นในห้องใต้ดิน - อาคารคณิตศาสตร์ทั้งหมดตั้งอยู่บนหินแข็ง.

ในขณะเดียวกันที่ด้านบน ...

เราสังเกตคุณธรรมอีกอย่างหนึ่งจากเรื่องราวของ Stanislav Lem ในการเดินทางครั้งหนึ่งของเขา Iyon Tichi ไปถึงดาวเคราะห์ที่มีผู้อยู่อาศัยหลังจากวิวัฒนาการมายาวนานในที่สุดก็ถึงขั้นสูงสุดของการพัฒนา พวกเขาทั้งหมดแข็งแกร่ง พวกเขาสามารถทำอะไรก็ได้ พวกเขามีทุกสิ่งที่ปลายนิ้วของพวกเขา… และพวกเขาไม่ทำอะไรเลย พวกเขานอนลงบนทรายและเทลงในระหว่างนิ้วของพวกเขา “ถ้าทุกอย่างเป็นไปได้ มันไม่คุ้ม” พวกเขาอธิบายให้ Ijon ตกใจ ขอให้สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นกับอารยธรรมยุโรปของเรา...