ห้าครั้งในดวงตา
ณ สิ้นปี 2020 มีการจัดงานหลายงานในมหาวิทยาลัยและโรงเรียน เลื่อนจาก ... มีนาคม หนึ่งในนั้นคือ "งานเฉลิมฉลอง" ของวันพาย ในโอกาสนี้ เมื่อวันที่ 8 ธันวาคม ฉันได้บรรยายทางไกลที่มหาวิทยาลัย Silesia และบทความนี้เป็นบทสรุปของการบรรยาย งานเลี้ยงทั้งหมดเริ่มเวลา 9.42 น. และการบรรยายของฉันมีกำหนดเป็น 10.28 น. ความแม่นยำดังกล่าวมาจากไหน? ง่ายมาก: 3 คูณ pi ประมาณ 9,42 และ π กำลังสองคือประมาณ 2 และชั่วโมงที่ 9,88 ยกกำลัง 9 คือ 88 ยกกำลัง 10 ...
ธรรมเนียมการให้เกียรติเลขนี้ แสดงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางและบางครั้งเรียกว่าค่าคงที่อาร์คิมิดีส (เช่นเดียวกับในวัฒนธรรมที่พูดภาษาเยอรมัน) มาจากประเทศสหรัฐอเมริกา (ดูสิ่งนี้ด้วย: ). 3.14 มีนาคม “สไตล์อเมริกัน” เวลา 22:22 น. จึงเป็นที่มาของแนวคิด ค่าเทียบเท่าของโปแลนด์อาจเป็นวันที่ 7 กรกฎาคม เพราะเศษส่วน 14/XNUMX มีค่าประมาณ π ดี ซึ่ง…อาร์คิมิดีสรู้อยู่แล้ว XNUMX มีนาคมเป็นเวลาที่ดีที่สุดสำหรับกิจกรรมเสริม
สามและสิบสี่ในร้อยนี้เป็นหนึ่งในข้อความทางคณิตศาสตร์ไม่กี่ข้อความที่ยังคงอยู่กับเราตั้งแต่สมัยเรียน ทุกคนรู้ว่ามันหมายถึงอะไร"ห้าครั้งในดวงตา". เป็นภาษาที่ฝังแน่นมากจนยากที่จะแสดงออกอย่างแตกต่างและมีความสง่างามเหมือนกัน เมื่อฉันถามที่ร้านซ่อมรถว่าค่าซ่อมจะเท่าไหร่ ช่างคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้และพูดว่า: “ห้าครั้งประมาณแปดร้อยซลอตี” ฉันตัดสินใจที่จะใช้ประโยชน์จากสถานการณ์ “คุณหมายถึงการประมาณคร่าวๆ เหรอ?” ช่างเครื่องคงคิดว่าฉันได้ยินผิด เขาจึงพูดซ้ำ “ฉันไม่รู้เท่าไหร่ แต่ตาห้าครั้งจะเท่ากับ 800”
.
มันเกี่ยวกับอะไร? การสะกดคำก่อนสงครามโลกครั้งที่สองใช้คำว่า "ไม่" ร่วมกัน และฉันก็ปล่อยไว้ตรงนั้น เราไม่ได้จัดการกับบทกวีที่โอ้อวดเกินไป แม้ว่าฉันจะชอบความคิดที่ว่า "เรือทองคำปั๊มความสุข" ถามนักเรียน: ความคิดนี้หมายความว่าอย่างไร แต่คุณค่าของข้อความนี้อยู่ที่อื่น จำนวนตัวอักษรในคำต่อไปนี้เป็นตัวเลขของนามสกุล pi มาดูกัน:
Π 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
ในปี ค.ศ. 1596 นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ชาวเยอรมันผู้กำเนิด ลุดอล์ฟ ฟาน ซึเลน คำนวณค่า pi เป็นทศนิยม 35 ตำแหน่ง. จากนั้นร่างเหล่านี้ถูกจารึกไว้บนหลุมศพของเขา เธออุทิศบทกวีให้กับหมายเลข pi และผู้ได้รับรางวัลโนเบลของเรา วิสลาวา ชิมบอร์สกา. Szymborska รู้สึกทึ่งกับการไม่เป็นระยะๆ ของหมายเลขนี้ และความจริงที่ว่าด้วยความน่าจะเป็น 1 ในแต่ละลำดับของตัวเลข เช่น หมายเลขโทรศัพท์ของเรา จะเกิดขึ้นที่นั่น แม้ว่าคุณสมบัติแรกจะมีอยู่ในจำนวนอตรรกยะทุกจำนวน (ซึ่งเราควรจำจากโรงเรียน) ประการที่สองคือข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจซึ่งยากต่อการพิสูจน์ คุณยังสามารถหาแอพที่นำเสนอได้: ให้หมายเลขโทรศัพท์ของคุณกับฉัน แล้วฉันจะบอกคุณว่ามันอยู่ที่ไหนใน pi
ที่ใดมีความกลม ที่นั้นมีการหลับใหล ถ้าเรามีทะเลสาบทรงกลม การเดินรอบทะเลสาบจะนานกว่าการว่ายน้ำ 1,57 เท่า แน่นอนว่านี่ไม่ได้หมายความว่าเราจะว่ายน้ำช้ากว่าที่เราจะผ่านไปหนึ่งถึงครึ่งถึงสองเท่า ฉันแชร์สถิติโลก 100 ม. กับสถิติโลก 100 ม. ที่น่าสนใจคือในผู้ชายและผู้หญิง ผลลัพธ์เกือบจะเหมือนกันคือ 4,9 เราว่ายน้ำช้ากว่าวิ่ง 5 เท่า การพายเรือแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - แต่เป็นความท้าทายที่น่าสนใจ มันมีโครงเรื่องค่อนข้างยาว
หลบหนีจากการไล่ตามวายร้าย Good One ที่หล่อเหลาและสูงศักดิ์แล่นเรือไปที่ทะเลสาบ คนร้ายวิ่งไปตามชายฝั่งและรอให้เธอขึ้นฝั่ง แน่นอน เขาวิ่งเร็วกว่าแถวของ Dobry และถ้าเขาวิ่งได้อย่างราบรื่น Dobry ก็จะเร็วกว่า ดังนั้นโอกาสเดียวสำหรับ Evil คือการนำ Good ออกจากฝั่ง - การยิงที่แม่นยำจากปืนลูกโม่ไม่ใช่ทางเลือกเพราะ Good มีข้อมูลที่มีค่าที่ Evil ต้องการทราบ
ยึดมั่นในกลยุทธ์ต่อไปนี้เป็นอย่างดี เขาว่ายข้ามทะเลสาบ ค่อยๆ เข้าใกล้ฝั่ง แต่พยายามอยู่ฝั่งตรงข้ามกับมารร้ายที่สุ่มวิ่งไปทางซ้ายแล้วไปทางขวา นี้จะแสดงในรูป ให้ Evil เริ่มตำแหน่งเป็นZ1และ Dobre อยู่กลางทะเลสาบ เมื่อ Zly ย้ายไปที่ Z1, Dobro จะแล่นเรือไปที่ D.1เมื่อ Bad อยู่ใน Z2, ดีในD2. มันจะไหลเป็นซิกแซก แต่ตามกฎ: ให้ไกลที่สุดจาก Z อย่างไรก็ตามเมื่อมันเคลื่อนออกจากศูนย์กลางของทะเลสาบ Good จะต้องเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ และในบางจุดก็ไม่สามารถทำได้ ยึดหลัก “อยู่อีกด้านของมาร” จากนั้นเขาก็พายเรือเต็มกำลังไปที่ฝั่งโดยหวังว่ามารร้ายจะไม่ข้ามทะเลสาบ ดีจะประสบความสำเร็จหรือไม่?
คำตอบขึ้นอยู่กับว่า Good พายเรือได้เร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับค่าขาของ Bad สมมุติว่าคนเลววิ่งด้วยความเร็วคูณด้วยความเร็วของผู้ชายที่ดีในทะเลสาบ ดังนั้นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดซึ่ง Good สามารถพายเรือเพื่อต่อต้านความชั่วร้ายได้มีรัศมีที่เล็กกว่ารัศมีของทะเลสาบหนึ่งเท่า ดังนั้นในการวาดภาพที่เรามี ณ จุด W เผ่าพันธุ์ของเราเริ่มพายเรือเข้าหาฝั่ง นี้ต้องไป
ด้วยความเร็ว
เขาต้องการเวลา
ความชั่วร้ายกำลังไล่ตามเท้าที่ดีที่สุดของเขา เขาต้องทำครึ่งวงกลมให้เสร็จ ซึ่งจะใช้เวลาไม่กี่วินาทีหรือนาที ขึ้นอยู่กับหน่วยที่เลือก หากนี่เป็นมากกว่าตอนจบที่มีความสุข:
คนดีจะไป บัญชีธรรมดาแสดงให้เห็นว่าควรเป็นอย่างไร ถ้าคนเลววิ่งเร็วกว่าผู้ชายดี 4,14 เท่า ก็จบไม่สวย และที่นี่เช่นกัน จำนวน ไพ ของเราเข้าไปแทรกแซง
อะไรกลมๆก็สวย ลองดูรูปถ่ายของจานตกแต่งสามใบ - ฉันมีพวกเขาหลังจากพ่อแม่ของฉัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมโค้งระหว่างพวกเขาคืออะไร? นี่เป็นงานง่ายๆ คำตอบอยู่ในภาพเดียวกัน เราไม่แปลกใจเลยที่มันปรากฏในสูตร - ท้ายที่สุดที่ใดมีความกลมก็มีปี่
ฉันใช้คำที่ไม่คุ้นเคย:. นี่คือชื่อของจำนวน pi ในวัฒนธรรมที่พูดภาษาเยอรมัน และทั้งหมดนี้ต้องขอบคุณชาวดัตช์ (อันที่จริงแล้วชาวเยอรมันที่อาศัยอยู่ในเนเธอร์แลนด์ - สัญชาติไม่สำคัญในเวลานั้น) ลุดดอล์ฟแห่งโซลเลิน... ในปี 1596 กรัม เขาคำนวณการขยายเป็นทศนิยม 35 หลัก. บันทึกนี้จัดขึ้นจนถึง พ.ศ. 1853 เมื่อ วิลเลียม รัทเทอร์ฟอร์ด นับได้ 440 ที่นั่ง. เจ้าของสถิติสำหรับการคำนวณด้วยตนเองคือ (อาจตลอดไป) วิลเลียม แชงค์สซึ่งหลังจากทำงานมาหลายปีได้ตีพิมพ์ (ในปี พ.ศ. 1873) ขยายเป็น 702 หลัก. เฉพาะในปี พ.ศ. 1946 พบว่าตัวเลข 180 หลักสุดท้ายไม่ถูกต้อง แต่ก็ยังคงเป็นเช่นนั้น 527 ถูกต้อง. การค้นหาจุดบกพร่องนั้นเป็นเรื่องที่น่าสนใจ ไม่นานหลังจากการตีพิมพ์ผลงานของแชงค์ส พวกเขาสงสัยว่า "มีบางอย่างผิดปกติ" - มีสามส่วนที่น่าสงสัยในการพัฒนา สมมติฐานที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ (ธันวาคม 2020) ระบุว่าตัวเลขทั้งหมดควรปรากฏด้วยความถี่เดียวกัน สิ่งนี้ทำให้ D.T. Ferguson แก้ไขการคำนวณของ Shanks และพบข้อผิดพลาด "ของผู้เรียน"!
ต่อมาเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ช่วยให้ผู้คน เจ้าของบันทึกปัจจุบัน (ธันวาคม 2020) คือ Timothy Mullican (ทศนิยม 50 ล้านล้านตำแหน่ง) การคำนวณใช้เวลา ... 303 วัน มาเล่นกัน: ตัวเลขนี้จะใช้พื้นที่เท่าใด พิมพ์ในหนังสือมาตรฐาน จนกระทั่งเมื่อไม่นานนี้ "ด้าน" ที่พิมพ์ของข้อความคือ 1800 อักขระ (30 บรรทัด x 60 บรรทัด) มาลดจำนวนอักขระและระยะขอบของหน้า อัด 5000 อักขระต่อหน้า และพิมพ์หนังสือ 50 หน้า ดังนั้น XNUMX ล้านล้านอักขระจะใช้หนังสือสิบล้านเล่ม ไม่เลวใช่มั้ย
คำถามคือ อะไรคือประเด็นของการต่อสู้เช่นนี้? จากมุมมองทางเศรษฐกิจล้วนๆ เหตุใดผู้เสียภาษีจึงควรจ่ายสำหรับ "ความบันเทิง" ของนักคณิตศาสตร์เช่นนี้ คำตอบก็ไม่ยาก อันดับแรก, จาก Seoulen คิดค้นช่องว่างสำหรับการคำนวณซึ่งมีประโยชน์สำหรับการคำนวณลอการิทึม ถ้าเขาได้รับแจ้ง: โปรดสร้างช่องว่าง เขาจะตอบว่า: ทำไม? ในทำนองเดียวกันคำสั่ง:. ดังที่คุณทราบ การค้นพบนี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญทั้งหมด แต่เป็นผลพลอยได้จากการวิจัยประเภทอื่น
ประการที่สอง มาอ่านสิ่งที่เขาเขียนกัน Timothy Mullican. นี่คือการจำลองจุดเริ่มต้นของงานของเขา ศาสตราจารย์มัลลิแกนอยู่ในระบบความปลอดภัยทางไซเบอร์ และ pi เป็นงานอดิเรกเล็กๆ น้อยๆ ที่เขาเพิ่งทดสอบระบบความปลอดภัยทางไซเบอร์ใหม่ของเขา
และ 3,14159 ในด้านวิศวกรรมนั้นมากเกินพอ นั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง มาคำนวณง่ายๆ กัน ดาวพฤหัสบดีอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 4,774 Tm (ระยะทาง = 1012 เมตร) ในการคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมดังกล่าวที่มีรัศมีดังกล่าวเป็นความแม่นยำที่ไร้เหตุผล 1 มิลลิเมตร ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ π = 3,1415926535897932
ภาพต่อไปนี้แสดงก้อนอิฐเลโก้หนึ่งในสี่ส่วน ฉันใช้แผ่นรอง 1774 และอยู่ที่ประมาณ 3,08 pi ไม่ดีที่สุด แต่จะคาดหวังอะไร? วงกลมไม่สามารถประกอบเป็นสี่เหลี่ยมได้
อย่างแน่นอน. ตัวเลข pi เป็นที่รู้กันว่าเป็น วงกลม สี่เหลี่ยม - ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่รอคำตอบมานานกว่า 2000 ปี - ตั้งแต่สมัยกรีก คุณสามารถใช้วงเวียนและเส้นตรงเพื่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่กำหนดได้หรือไม่?
คำว่า "สี่เหลี่ยมของวงกลม" ได้เข้าสู่ภาษาพูดเป็นสัญลักษณ์ของบางสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ ฉันกดแป้นเพื่อถาม นี่คือความพยายามบางอย่างเพื่อเติมเต็มร่องลึกของความเป็นปรปักษ์ที่แยกพลเมืองของประเทศที่สวยงามของเราหรือไม่? แต่ฉันหลีกเลี่ยงหัวข้อนี้ไปแล้วเพราะฉันอาจจะรู้สึกแค่วิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น
และอีกครั้งในสิ่งเดียวกัน - วิธีแก้ปัญหาของการจัดกำลังสองวงกลมไม่ปรากฏในลักษณะที่ผู้เขียนแก้ปัญหา Charles Lindemannในปีพ.ศ. 1882 เขาได้รับการจัดตั้งขึ้นและประสบความสำเร็จในที่สุด ใช่ แต่เป็นผลมาจากการโจมตีจากแนวหน้ากว้าง นักคณิตศาสตร์ได้เรียนรู้ว่าตัวเลขมีหลายประเภท ไม่ใช่แค่จำนวนเต็ม ตรรกยะ (นั่นคือ เศษส่วน) และอตรรกยะ ความไม่สามารถวัดได้อาจดีขึ้นหรือแย่ลง จากโรงเรียนเราอาจจำได้ว่าจำนวนอตรรกยะคือ √2 - ตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อความยาวด้านของมัน เช่นเดียวกับจำนวนอตรรกยะใดๆ มันมีนามสกุลไม่จำกัด ผมขอเตือนคุณว่าการขยายเป็นระยะเป็นคุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็มส่วนตัว:
ที่นี่ลำดับของตัวเลข 142857 ซ้ำไปเรื่อย ๆ สำหรับ √2 สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น - นี่เป็นส่วนหนึ่งของความไม่ลงตัว แต่คุณทำได้:
(เศษส่วนดำเนินต่อไปตลอดกาล). เราเห็นรูปแบบที่นี่ แต่เป็นประเภทที่แตกต่างกัน Pi นั้นไม่ธรรมดาด้วยซ้ำ ไม่สามารถหาได้จากการแก้สมการพีชคณิต นั่นคือ สมการที่ไม่มีรากที่สอง ไม่มีลอการิทึม หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ นี่แสดงให้เห็นแล้วว่าสร้างไม่ได้ - การวาดวงกลมนำไปสู่ฟังก์ชันกำลังสอง และเส้น - เส้นตรง - ไปสู่สมการของดีกรีหนึ่ง
บางทีฉันอาจเบี่ยงเบนไปจากโครงเรื่องหลัก เฉพาะการพัฒนาของคณิตศาสตร์ทั้งหมดเท่านั้นที่ทำให้สามารถกลับสู่ต้นกำเนิด - สู่คณิตศาสตร์ที่สวยงามโบราณของนักคิดที่สร้างวัฒนธรรมการคิดแบบยุโรปให้กับเราซึ่งบางคนก็น่าสงสัยในทุกวันนี้
จากรูปแบบที่เป็นตัวแทนมากมาย ฉันเลือกสองรูปแบบ คนแรกที่เราเชื่อมโยงกับนามสกุล ก็อทฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ (1646-1716)
แต่เขาเป็นที่รู้จัก (แบบอย่าง ไม่ใช่ไลบ์นิซ) ต่อ Madhava นักวิชาการฮินดูยุคกลางแห่ง Sangamagram (1350-1425) การถ่ายโอนข้อมูลในตอนนั้นทำได้ไม่ดีนัก การเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตมักมีปัญหา และไม่มีแบตเตอรี่สำหรับโทรศัพท์มือถือ (เพราะยังไม่มีการประดิษฐ์อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์!) สูตรมีความสวยงาม แต่ไม่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณ จากหนึ่งร้อยส่วนผสม จะได้ "เพียง" 3,15159 เท่านั้น
เขาดีขึ้นนิดหน่อย สูตรของ Viète (อันหนึ่งจากสมการกำลังสอง) และสูตรของมันนั้นง่ายต่อการตั้งโปรแกรม เพราะเทอมถัดไปในผลคูณคือรากที่สองของค่าบวกสองอันก่อนหน้า
เรารู้ว่าวงกลมนั้นกลม เราสามารถพูดได้ว่านี่คือรอบ 100 เปอร์เซ็นต์ นักคณิตศาสตร์จะถามว่า: บางอย่างอาจไม่ใช่ 1 เปอร์เซ็นต์ได้หรือไม่? เห็นได้ชัดว่านี่เป็นคำเปรียบเทียบ ซึ่งเป็นวลีที่มีความขัดแย้งซ่อนอยู่ เช่น น้ำแข็งร้อน แต่ให้ลองวัดว่ารูปร่างจะกลมได้แค่ไหนกัน ปรากฎว่าสูตรต่อไปนี้กำหนดการวัดที่ดีโดยที่ S คือพื้นที่และ L คือเส้นรอบวงของรูป ลองหาว่าวงกลมนั้นกลมจริงๆ ซิกมาคือ 6 พื้นที่ของวงกลมคือเส้นรอบวง เราใส่ ... และดูว่าอะไรถูกต้อง สี่เหลี่ยมจัตุรัสกลมแค่ไหน? การคำนวณก็ง่ายเหมือนกัน ฉันจะไม่ให้ด้วยซ้ำ ใช้รูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมที่มีรัศมี ปริมณฑลคือ XNUMX อย่างเห็นได้ชัด
เสา
แล้วรูปหกเหลี่ยมปกติล่ะ? เส้นรอบวงของมันคือ 6 และพื้นที่ของมันคือ
เราก็เลยมี
ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 0,952 หกเหลี่ยมเป็นมากกว่า 95% "รอบ"
ได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจเมื่อคำนวณความกลมของสนามกีฬา ตามกฎของ IAAF ทางตรงและทางโค้งต้องมีความยาว 40 เมตร แม้ว่าจะอนุญาตให้เบี่ยงเบนได้ ฉันจำได้ว่า Bislet Stadium ในออสโลนั้นแคบและยาว ฉันเขียนว่า "เป็น" เพราะฉันวิ่งตามมันด้วยซ้ำ (สำหรับมือสมัครเล่น!) แต่เมื่อกว่า XNUMX ปีที่แล้ว มาดูกัน:
ถ้าส่วนโค้งมีรัศมี 100 เมตร รัศมีของส่วนโค้งนั้นจะเป็นเมตร พื้นที่สนามหญ้าเป็นตารางเมตร และพื้นที่ด้านนอก (ที่มีสปริงบอร์ด) รวมตารางเมตร ลองเสียบสิ่งนี้ลงในสูตร:
ความกลมของสนามกีฬามีส่วนเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมด้านเท่าหรือไม่? เพราะความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีจำนวนเท่าของด้าน เป็นตัวเลขที่บังเอิญโดยบังเอิญ แต่ก็ดี ฉันชอบมัน. แล้วผู้อ่านล่ะ?
ดีที่กลมแม้ว่าบางคนอาจคัดค้านเพราะไวรัสที่ส่งผลต่อเราทั้งหมดนั้นกลม อย่างน้อยนั่นเป็นวิธีที่พวกเขาวาด
